3.1.4
一、选择题
1.已知α为锐角,且sinα∶sinα2=8∶5,则cosα的值为( )
A.45
B.825
C.1225
D.725
[答案] D
[解析] 由已知sinα?sinα2=8?5,即(2sinα2•cosα2)?sinα2=8?5得cosα2=45,则cosα=2cos2α2-1=2×1625-1=725.
2.2-sin22+cos4的值是( )
A.sin2
B.-cos2
C.3cos2
D.-3cos2
[答案] D
[解析] 原式=1+cos22+2cos22-1=3cos22
=-3cos2.
3.若tanθ=13,则cos2θ+12sin2θ的值是( )
A.-65
B.-45
C.45
D.65
[答案] D
[解析] ∵tanθ=13,
∴原式=cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=1+tanθ1+tan2θ=1+131+19=65.
4.若sinα+cosα=-2,则tanα+1tanα=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
[答案] B
[解析] 法一:sinα+cosα=-2⇒sin(α+π4)=-1,
⇒α=2kπ+5π4,k∈Z,
∴tanα=1,∴原式=1+11=2.
法二:由sinα+cosα=-2两边平方得,
sinαcosα=12,
∴原式=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αsinαcosα=112=2.
5.cosπ5•cos2π5的值是( )
A.4
B.14
C.2
D.12
[答案] B
[解析] 原式=sinπ5cosπ5cos2π5sinπ5
=14sin4π5sinπ5=14.
6.已知等腰三角形底角的余弦值为23,则顶角的正弦值是( )
A.459
B.259
C.-459
D.-259
[答案] A
[解析] 令底角为α,则顶角β=π-2α,
∵cosα=23,∴sinα=53,
∴sinβ=sin(π-2α)=sin2α
=2sinαcosα=2×53×23=459.
7.若sinπ6-α=13,则cos2π3+2α的值是( )
A.-79
B.-13
C.13
D.79
[答案] A
[解析] ∵sinπ6-α=cosπ2-π6-α
=cosπ3+α=13,
∴cos2π3+2α=2cos2π3+α-1
=2×132-1=-79.
8.函数y=cosx1-sinx的单调递增区间是( )
A.2kπ-32π,2kπ+π2(k∈Z)
B.2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)
C.2kπ-3π2,2kπ-π2(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)
[答案] A
[解析] y=cosx1-sinx=cos2x2-sin2x2cosx2-sinx22
=cosx2+sinx2cosx2-sinx2=1+tanx21-tanx2
=tanπ4+x2,
当π4+x2∈kπ-π2,kπ+π2,k∈Z时,函数为增函数,此时x∈2kπ-3π2,2kπ+π2,k∈Z,故选A.
9.(2010•福建省福州市)已知sin10°=a,则sin70°等于( )
A.1-2a2
B.1+2a2
C.1-a2
D.a2-1
[答案] A
[解析] 由题意可知,sin70°=cos20°=1-2sin210°=1-2a2,故选A.
10.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根为tanα、tanβ,且α,β∈-π2,π2,则tanα+β2的值是( )
A.12
B.-2
C.43
D.12或-2
[答案] B
[解析] ∵tanα+tanβ=-4a<0tanα•tanβ=3a+1>0,
∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα•tanβ=43,
∵tanα<0,tanβ<0,∴-π2<α<0-π2<β<0,
∴-π<α+β<0,∴-π2<α+β2<0,
∵tan(α+β)=2tanα+β21-tan2α+β2=43,∴tanα+β2=-2,故选B.
二、填空题
11.若sinπ2+α=35,则cos2α=________.
[答案] -725
[解析] ∵sinπ2+α=35,∴cosα=35,
∴cos2α=2cos2α-1=2×925-1=-725.
12.若cosθ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是________.
[答案] 第四象限
[解析] ∵sin2θ=2sinθcosθ<0,cosθ>0,
∴sinθ<0,∴θ是第四象限角.
13.如果tanπ4+α=2010,那么1cos2α+tan2α=______.
[答案] 2010
[解析] ∵tanπ4+α=2010,
∴1cos2α+tan2α=1cos2α+sin2αcos2α=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α
=sinα+cosαcosα-sinα=tanα+11-tanα=tanπ4+α=2010.
14.已知sinθ2+cosθ2=12,则cos2θ=__________.
[答案] -18
[解析] ∵(sinθ2+cosθ2)2=14,∴sinθ=-34,
∴cos2θ=1-2sin2θ=1-2×916=-18.
三、解答题
15.化简:2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α.
[解析] 原式=cos2α2tanπ4-αsin2π4+α
=sinπ2+2α2•sinπ4-αcosπ4-α•sin2π4+α
=2sinπ4+αcosπ4+α2•cosπ4+αsinπ4+α•sin2π4+α=1.
16.已知cosx+π4=35且17π12
tanx+π4=-43.
又sin2x=-cos2x+π4
=1-2cos2x+π4=1-2•352=725.
∴原式=sin2x1+2sin2x2sinxcosx1-tanx
=sin2x•1+tanx1-tanx=sin2x•tanπ4+tanx1-tanπ4tanx
=sin2x•tanx+π4=725×-43=-2875.
17.若π<α<3π2,化简1+sinα1+cosα-1-cosα
+1-sinα1+cosα+1-cosα.
[解析] ∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4,
∴cosα2<0,sinα2>0.
∴原式=sinα2+cosα222cosα2-2sinα2
+sinα2-cosα222cosα2+2sinα2
=sinα2+cosα22-2sinα2+cosα2+sinα2-cosα222sinα2-cosα2
=-sinα2+cosα22+sinα2-cosα22=-2cosα2.
18.已知sinα+sinβ=12,cosα+cosβ=13,求cos2α-β2的值.
[解析] 将sinα+sinβ=12与cosα+cosβ=13的两边分别平方得,
∴sin2α+2sinαsinβ+sin2β=14①
cos2α+2cosαcosβ+cos2β=19②
①+②得:2+2cos(α-β)=1336.
∴cos(α-β)=-5972,
∴2cos2α-β2-1=-5972,∴cos2α-β2=13144.
高二数学上册课后强化检测试题(附答案与解析)
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