蚌埠二中2011―2012学年度第二学期期中考试
高二数学试题（理科）
（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D
的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡
1.命题“若x2+y2=0，则x,y全为0”的否命题是 （ ）
A.若x2+y2≠0,则x,y全不为0.B.若x2+y2≠0，则x,y不全为0.
C.若x2+y2≠0,则x,y至少有一个为0.D.若x,y不全为0，则x2+y2≠0.
2. 下列有关命题的说法正确的是 （ ）
A．若 为真命题，则 均为真命题
B．命题“ ， ”的否定是“ , ”
C． “ ”是“方程 表示椭圆”的充要条件
D．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件
3. 已知曲线 上过点（2，8）的切线方程为 ，则实数 的值为（ ）
A． －1 B． 1 C． －2 D． 2
4.给出下列命题：
①直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 则
②直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 则 .
③平面 的法向量分别为 ，则 .
④平面 经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量 是平面 的法向量，则u＋t＝1.其中真命题的序号是 （ ）
A．②③ B．①④ C．③④ D．①②
5．设命题p： R， ， 则命题p为真命题的充分非必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，点 在 所在的平面内运动且保持 ，则 的最大值和最小值分别是 ( )
A． 和 B．10和2 C．5和1 D．6和4
7.若点 在平面 内，且满足 (点 为空间任意一点),则抛物线 的准线方程是 （ ）
A. B. C. D.
8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
A．[1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
9.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，
水面宽4米.水下降1米后，水面宽为( )
A. 米 B． 米 C. 米 D. 米
10．已知抛物线 的焦点 与椭圆 的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为 ，且 与 轴垂直，则椭圆的离心率为 （ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷（填空与解答题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案直接填在题中横线上。
11．已知 , ( 两两互相垂直)，那么 = ，
12．设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 _____________。
13．直线l： 与椭圆 相交A，B两点，点C是椭圆上的动点，则 面积的最大值为 。
14. 过点 且被点 平分的双曲线 的弦所在直线方程为 _.
15． 为过抛物线 焦点 的一条弦，设 ，以下结论正确的是____________________,
① 且 ② 的最小值为 ③以 为直径的圆与 轴相切；
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出说明文字、演算式、证明步骤。
16.(本小题满分12分) 设命题 ：方程 表示的图象是双曲线；命题 ： ， ．求使“ 且 ”为真命题时，实数 的取值范围．
17.（本小题满分12分）三棱柱 中， 分别是 、 上的点，
且 ， 。设 ， ， .
（Ⅰ）试用 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ， ，
，求MN的长.。
18. （本小题共12分）已知抛物线 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线 ： 的一个焦点 且垂直于 的两个焦点所在的轴，若抛物线 与双曲线 的一个交点是 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程及其焦点 的坐标； （Ⅱ）求双曲线 的方程及其离心率 ．
19．（本小题满分13分）已知平面四边形 的对角线 交于点 ， ，且 ， ， ．现沿对角线 将三角形 翻折，使得平面 平面 ．翻折后：
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）记 分别为 的中点．
①求二面角 大小的余弦值； ②求点 到平面 的距离
20．(本小题满分13分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a>b>0)上的点M(1, 32)到它的两焦点F1，F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点。
(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。
21．（本小题共13分）
已知抛物线 直线 过抛物线的焦点 且与该抛物线交于 、 两点（点A在第一象限）
（Ⅰ）若 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）过点 的抛物线的切线与直线 交于点 ，求证： 。
蚌埠二中2011―2012学年度第二学期期中考试
高二数学（理科）参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
12345678910
BDBBBCACDB
第II卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）
11、-65 12、 13、 14、 15、①②③
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 实数 的取值范围是 ．
17．（Ⅰ）
。
（Ⅱ）
，
， 。
18. （Ⅰ）抛物线 的方程为 于是焦点
（Ⅱ）抛物线 的准线方程为 ，所以， 而双曲线 的另一个焦点为 ，于是
因此， 又因为 ，所以 ．于是，双曲线 的方程 为 因此，双曲线 的离心 ．
19、(Ⅰ)证明略
(II)①二面角 大小的余弦值为
,
②点 到平面 的距离为 .
20. 解：(Ⅰ)由题意得2a＝4，∴a＝2将M(1, 32)代入椭圆方程得：14＋94b2＝1
∴b2＝3，因此所求椭圆方程为x24＋y23＝1其离心率e＝ca＝12
(Ⅱ)由题意，直线l的斜率k＝kAB＝3?00?(?2)＝32
∴设l的方程为y＝32x＋m 由y＝32x＋mx24＋y23＝1得6x2＋43mx＋4m2－12＝0
由＝48m2－24(4m2－12)＞0得6＜m＜6，x1＋x2＝233m，x1x2＝2m2－63
∴|PQ|＝(1+34)[(x1+x2)2－4x1x2]＝73(6m2)∴当m＝0时，|PQ|max＝14
∴l的方程为y＝32x∴|PQ|的最大值为14，此时l的方程为y＝32x
21. （Ⅰ）解：设 ， 若 轴，则 不适合
故设 ，代入抛物线方程得
由 得 直线 的方程为
（Ⅱ）当 时 切线的方程： 得
即