选修2-3 2.3.3 离散型随机变量的均值与方差习题课
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列是
X123
P0.40.20.4
则E(X)和D(X)分别等于( )
A．1和0 B．1和1.8
C．2和2 D．2和0.8
[答案] D
[解析] E(X)＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2
D(X)＝(2－1)2×0.4＋(2－2)2×0.2＋(2－3)2×0.4＝0.8.
2．已知随机变量X的分布列为
X012
P715
715
115
且η＝2X＋3，且E(η)等于( )
A.35 B.65
C.215 D.125
[答案] C
[解析] ∵E(X)＝0×175＋1×715＋2×115＝35，
∴E(η)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.
3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )
A．0.4 B．1.2
C．0.43 D．0.6
[答案] B
[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2＝65.
4．已知X的分布列为
X1234
P14
13
16
14
则D(X)的值为( )
A.2912 B.121144
C.179144 D.1712
[答案] C
[解析] ∵E(X)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，E(X2)＝12×14＋22×13＋32×16＋42×14＝8512，∴D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.
5．已知X的分布列为
X－101
P12
13
16
若η＝2X＋2，则D(η)的值为( )
A．－13 B.59
C.109 D.209
[答案] D
[解析] E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，
∴D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×59＝209.
6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为( )
A.65 B.1825
C.625 D.18125
[答案] B
[解析] 由X～B3，25，∴D(X)＝3×25×35＝1825.
7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6
B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
[答案] B
[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～ B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知
3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96∴n＝6p＝0.4
8．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩
环数78910
频数5555
乙的成绩
环数78910
频数6446
丙的成绩
环数78910
频数4664
s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3
C．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1
[答案] B
[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.
s1＝
120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]
＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，
∴s2>s1>s3，故选B.
二、填空题
9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．
[答案] 0.196
[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
10．(2010•福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.
[答案] nm
[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，
∴P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，∴X～B(n，1m)．
则E(X)＝n×1m＝nm.
11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
[答案] 48
[解析] 设小王选对个数为X，得分为η＝5X，
则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(η)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.
12．若X的分布列如下表：
X1234
P14
14
14
14
则D14X＝________.
[答案] 564
[解析] E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，
D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－522
×14＝54，
∴D14X＝116D(X)＝564.
三、解答题
13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．
[解析] 由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(A•B•C)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.15＝0.003，
P(X＝1)＝P(A•B•C＋A•B•C＋A•B•C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，
同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，
所以E(X)＝0×0.003＋1×0.056＋2×0.329＋3×0.612＝2.55台．
14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．
[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．
解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.
由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，
P(Ck)＝16.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：
P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)
＝6×12×13×16＝16.
(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知η～B3，13，且ξ＝3－η.
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C33133＝127，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2313223＝29，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C1313232＝49，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C03233＝827.
故ξ的分布列为
ξ0123
P127
29
49
827
ξ的均值E(ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.
解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.
3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故ξ～B3，23.
即：P(ξ＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.
ξ0123
P127
29
49
827
ξ的均值E(ξ)＝3×23＝2.
15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、均值和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
[解析] (1)ξ的分布列为：
ξ01234
P12
120
110
320
15
∴E(ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15
＝1.5.
D(ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15
＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
∴a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．
16．(2010•湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．
[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．
[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.
故随机变量X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.0270.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．