成都外国语学校高2013级2011―2012学年度下期期中考试
高二数学试卷
一、选择题：(共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
1.复数 的实部与虚部之和为 （ ）
A．0 B． C． 1 D． 2
2．一组数据的平均数是 ，方差是 ，若将这组数据中的每一个数据都加上 ，得到
一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
3、满足 的复数 的对应点的轨迹是( )
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
4. 已知 、 为实数，则 是 的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、若点 在以点 为焦点的抛物线 （ 为参数）上，则 等于( )
A． B． C． D．
6．已知点 的极坐标是 ，则过点 且垂直极轴的直线方程是 （ ）
A． B． C． D．
7. 下列命题中真命题为（ ）
A． ，使 B． ，
C． D． ，
8. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 ,其中 ,若 ,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这 个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( )
A． B． C． D．
9. 设 ，函数 的导函数是 ，且 是奇函数，若曲线y = f(x)的某一切线斜率是 ，则切点的横坐标是（ ）
A． ln2 B．?ln2 C． D．
10．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，则甲比乙提前到达的概率为（ ）
A． B． C． D．
11. 函数 （b、c、d为常数），已知当 或 时 只有一个实根，当 时， 有三个相异实根，现给出下面命题： ① 和 有一个相同实数根
② 和 有一个相同的实根
③ 的任一根大于 的任一根
④ 的任一根小于 的任一根.
其中错误命题的个数是 （ ）
A． 4 B．3 C． 2 D．1
12、（文）已知函数 ，方程 的实根个数为 ( )
A．2 B．4 C． 5 D． 6
（理）已知函数 ，方程 有四个实数根，则 的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）
13．抽取 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图
如右图所示，估计此200辆汽车的平均时速为 .
14.在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，以原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 在极坐标系中的方程为 ．若曲线 与 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ．
15、设有一个边长为1的正三角形，设为A1，将A1的每边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记为A2，将A2的每边三等分，再重复上述过程，得到图形A3，再重复上述过程，得到图形A4，则A4的周长是_________________。
16.下列说法,其中正确命题的序号为___ ________．
①.若函数 在 处上有极大值，则实数 或6
②.对于R上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有
③.若函数 在 上有最大值，则实数 的取值范围为
④.已知函数 是定义在R上的奇函数, , ,则不等式 的解集是
三、解答题（6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂
（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个
工厂中至少有1个来自A区的概率。
18.（本题满分12分）设命题p：函数 是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在 上的值域为[－1,3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求 的取值范围．
19、（本题满分12分）已知直线 的参数方程为： （t为参数），曲线C的极坐标方程为： ．
（1）求直线 被曲线C截得的弦长，
（2）若直线 与曲线C交于A、B两点，求线段AB的中点坐标.
20. （本题满分12分）设函数 为奇函数,其图象在点 处的切线与直线 垂直,导函数 的最小值为 .
(1)求 , , 的值;
（2）若 时， 恒成立，求 的范围;
(3)设 ,当 时,求 的最小值.
21. (本题满分12分）已知椭圆 ，过中心O作互相垂直的线段OA、OB与椭圆交于A、B,
求： （1） 的值
（2）判定直线AB与圆 的位置关系
（文科）（3）求 面积的最小值
（理科）（3）求 面积的最大值
22. (本题满分14分)已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)若 恒成立,求实数k的取值范围;
（文科(3)证明: .
（理科(3)证明: .
成都外国语学校高2013级2011―2012学年度高二下期期中考试
数学试卷(答案)
命题人：杜仕彪 审题人：方兰英
一、选择题：(共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)
1.复数 的实部与虚部之和为 （ ）C
A．0 B． C． 1 D. 2
2．一组数据的平均数是 ，方差是 ，若将这组数据中的每一个数据都加上 ，得到
一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别为（ ） D
A． B． C． D．
3、满足 的复数 的对应点的轨迹是( )A
A．1个圆 B．线段 C．2个点 D．2个圆
4. 已知 、 为实数，则 是 的（ ）B
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5、若点 在以点 为焦点的抛物线 （ 为参数）上，则 等于( )C
A． B． C． D．
6．已知点 的极坐标是 ，则过点 且垂直极轴的直线方程是 （ ）C
A． B． C． D．
7. 下列命题中真命题为（ ）B
A． ，使 B． ，
C． D． ，
8. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 ,其中 ,若 ,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这 个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) D
A． B． C． D．
9. 设 ，函数 的导函数是 ，且 是奇函数，若曲线y = f(x)的某一切线斜率是 ，则切点的横坐标是（ ）A
A． ln2 B．?ln2 C． D．
10．在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，则甲比乙提前到达的概率为（ ）B
A． B． C． D．
11. 函数 （b、c、d为常数），已知当 或 时 只有一个实根，当 时， 有三个相异实根，现给出下面命题： ① 和 有一个相同实数根
② 和 有一个相同的实根
③ 的任一根大于 的任一根
④ 的任一根小于 的任一根.
其中错误命题的个数是 （ ）D
A． 4 B．3 C． 2 D．1
12、（文）已知函数 ，方程 的实根个数为 ( ) A
A．2 B．4 C． 5 D． 6
（理）已知函数 ，方程 有四个实数根，则 的取值范围为( ) C
A． B． C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）
13．抽取 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图
如右图所示，估计此200辆汽车的平均时速为 . 62
14.在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 在极坐标系中的方程为 ．若曲线 与 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是 ．
15、设有一个边长为1的正三角形，设为A1，将A1的每边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记为A2，将A2的每边三等分，再重复上述过程，得到图形A3，再重复上述过程，得到图形A4，则A4的周长是_________________。
16.下列说法,其中正确命题的序号为___ ________． ④
①.若函数 在 处上有极大值，则实数 或6
②. 对于R上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有
③. 若函数 在 上有最大值，则实数 的取值范围为
④. 已知函数 是定义在R上的奇函数, , ,则不等式 的解集是
三、解答题（6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂
（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个
工厂中至少有1个来自A区的概率。
解 （1）工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为 ，所以从
A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.
（2）设 为在A区中抽得的2个工厂， 为在B区中抽得的3个工厂，
为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果
有： 种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有 ，
,同理 还能组合5种，一共有11种.
所以所求的概率为
18.（本题满分12分）设命题p：函数 是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在 上的值域为[－1,3]，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求 的取值范围．
18. 解：由0
∵p且q为假，p或q为真， ∴p、q为一真一假，
若p真q假，得32
19、（本题满分12分）已知直线 的参数方程为： （t为参数），曲线C的极坐标方程为： ．
（1）求直线 被曲线C截得的弦长，
（2）若直线 与曲线C交于A、B两点，求线段AB的中点坐标.
19．（1）由曲线
得 化成普通方程 ① 5分
（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程
（ 为参数） ②把②代入①
整理，得 设其两根为 ，则 8分
从而弦长为 10分
（2）由（1）当（*）中 时为中点，中点为
20. （本题满分12分）设函数 为奇函数,其图象在点 处的切线与直线 垂直,导函数 的最小值为 .
(1)求 , , 的值;
（2）若 时， 恒成立，求 的范围;
(3)设 ,当 时,求 的最小值.
20.解:(1)∵ 为奇函数,∴ ,即 ,
∴ ,又∵ 的最小值为 ,∴ ;
又直线 的斜率为 ,因此, , ∴ ,
∴ , , 为所求.
(2) 在 上的最大是32，
(3)由(1)得 ,∴当 时, ,
∴ 的最小值为 .
21. (本题满分12分）已知椭圆 ，过中心O作互相垂直的线段OA、OB与椭圆交于A、B,
求： （1） 的值
（2）判定直线AB与圆 的位置关系 相交
（文科）（3）求 面积的最小值
（理科）（3）求 面积的最大值
22. (14分)已知函数 .
(1)求函数 的单调区间;
(2)若 恒成立,求实数k的取值范围;
（文科）(3) 利用（2）的结论， 证明: .
（理科） (3) 利用（2）的结论，证明: .
20. (1) 的定义域为 , ,………1分
当 时,函数 的递增区间为 ,………2分
当 时，函数 的递增区间为 ,减区间为 .………4分
(2)由 得 ,………5分
令 ,则 ………6分
当 时 ,函数递增；当 时 ,函数递减。………8分
， ………10分
(3)由(1)可知若 ，当 时有 ,………11分
即有 ，即 ,即有 (x>1), ………12
（文）令 ，则 , ,………14
(理)令 ，则 , ,………13分
= (n>1)