2014保定定兴高二数学下第三次月考试卷（带答案理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟 ，选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设复数 ，则 的虚部为 （ ）
A. B. C. D.
2.若 ， ，则 ， 的大小关系为( )
A． B． C． D．由 的取值确定
3．平面 经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面 的法向量不垂直的是 ( )
A. B． C． D．
4.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点．因为 在 处的导数值 ，所以 是函数 的极值点．以上推理中 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
5．已知 是复数 的共轭复数, =0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
6．如图所示，已知四面体OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，
则cos〈 ， 〉的值为 ( )
A．0 B.12 C.32 D.22
7．用数学归纳法证明“ 时，从 “ 到 ”时，左边应增添的式子是 （ ）
A. B. C. D.
8.把曲线 ： （ 为参数）上各点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标压缩为原来的 ，得到的曲线 为（ ）
A. B. C. D.
9.下列积分值等于1的是（ ）
A. B. C. D.
10.给出下列四个命题：① 是增函数，无极值.② 在 上没有最大值③由曲线 所围成图形的面积是 ④ 函数 存在与直线 平行的切线，则实数 的取值范围是 其中正确命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11．已知函数 = ， = ，若至少存在一个 ∈[1，e]，使得 成立，则实数a的范围为
A．[1，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(1，+∞)
12．已知点列如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，……，则 的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
14. 在四面体O―ABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝__ (用a，b，c表示)．
15．已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们的交点坐标为_____.
16．已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，BC=4，且∠ABC=60°，球心到平面ABC的距离为 , 则球O的表面积为
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ，( 为参数， ).以 为极点， 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
写出圆心的极坐标，并求当 为何值时，圆 上的点到直线 的最大距离为3.
18. （本小题满分12分）
已知 为实数， .
(Ⅰ)若 ，求 在 上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若 在 和 上都是递增的，求 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，在PAD中PA→+PD→=2PE→，且AD=2PE
(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(Ⅱ)如果AB=BC, =60º，求DC与平面PBE的正弦值
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为 ＝ （a＞0），过点 的直线l的参数方程为 （t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若 ，求a的值．
21. （本小题满分12分）
如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， ．点 为 的中点， ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若二面角 的余弦值为 时，求 的值．
22.（本小题满分12分）
已知定义在 上的三个函数 ， ， ，且 在 处取得极值．
（Ⅰ）求a的值及函数 的单调区间.
（Ⅱ）求证：当 时，恒有 成立.
高 二 数学参考答案
一、 选择题： CCDAA， ACBDB， BD.
二、填空题： 3； ； ；28
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
解析：由已知圆心O的直角坐标为 ， ，点O在第三象限，故 ，所以圆心O的极坐标为 ………………4分
直线l的直角坐标方程为 ，圆心O到l的距离 ，圆O上的点到直线l的距离的最大值为 解得 …………….10分
18. （本小题满分12分）
解析：（1） ………………..2分
时， 或 ， 在 上单调递增，在 上上单调递减，在 上单调递增
所以 在 上的最大值为 ，最小值为 ……………….6分
（2） 的图象为过 ，开口向上的抛物线由题 且 解得 ……………….12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以CD⊥PA，
因为在PAD中，PA→+PD→=2PE→，且AD=2PE
所以PD⊥PA ，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD，∵PA平面PAB
所以平面PAB⊥平面PCD…………………………4分
（2）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-XYZ，
设AB=4, 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0)E(0,2,0)
在RtAPD中AD=4, PAD=60º,∴P(0,1,3) ………6分
∴BP→=(-4,1,3),BE→=(-4,2,0)
设平面PBE的一个法向量为n→=(x,y,z)
由n→•BP→=0n→•BE→=0，得-4x+y+3z=0-4x+2y=0. 令y=2得x=1,z=233,∴ n→=(1,2, 233)………10分
而DC→=(4,0,0),∴cos
∴DC与平面PBE的正弦值为5719……………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 由 得 ,
∴曲线 的直角坐标方程为 .………………………………2分
直线 的普通方程为 .………………………………4分
（Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 中，
得 ,
设 两点对应的参数分别为 ,
则有 .………………………………6分
∵ ,∴ , 即 .………………9分
∴ .
解之得： 或 (舍去),∴ 的值为 .……………………………12分
21. （本小题满分12分）
22.（本小题满分12分）
解析：解：（Ⅰ） ， ， ，
∴ ………………………………2分
而 ， ，令 得 ；令 得 ．∴函数 单调递增区间是 ；单调递减区间是 …………4分
（Ⅱ）∵ ，∴ ，∴ ，
欲证 ，只需要证明 ，即证明 ……6分
记 ，∴ ，……………………8分
当 时， ，∴ 在 上是增函数，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，故结论成立．……………………12分