2012-2013学年北京市海淀区万寿寺中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（4分×8=32分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（4分）确定平面直角坐标系内点的位置是（ ）
A．一个实数B．一个整数C．一对实数D．有序实数对
考点：坐标确定位置．
分析：比如实数2和3并不能表示确定的位置，而有序实数对（2，3）就能清楚地表示这个点的横坐标是2，纵坐标是3．
解答：解：确定平面直角坐标系内点的位置是有序实数对，故选D．
点评：本题考查了在平面直角坐标系内表示一个点要用有序实数对的概念．
2．（4分）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x2+x=1B．2x+3y?1=0C．x+y?z=0D．x+ +1=0
考点：二元一次方程的定义．
分析：根据二元一次方程的定义进行分析，即只含有两个未知数，未知数的项的次数都是1的整式方程．
解答：解：A、x2+x=1不是二元一次方程，因为其最高次数为2，且只含一个未知数；
B、2x+3y?1=0是二元一次方程；
C、x+y?z=0不是二元一次方程，因为含有3个未知数；
D、x+ +1=0不是二元一次方程，因为不是整式方程．
故选B．
点评：注意二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
3．（4分）已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（ ）
A．（?3，4）B．（3，4）C．（?4，3）D．（4，3）
考点：点的坐标．
分析：根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标．
解答：解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方，
∴P点在第一象限，
又∵P点距y轴3个单位长度，距x轴4个单位长度，
∴P点横坐标为3，纵坐标为4，即点P的坐标为（3，4）．故选B．
点评：本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．
4．（4分）将下列长度的三条线段首尾顺次相接，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，3cm，5cmB．1cm，2cm，3cmC．25cm，12cm，11cmD．2cm，2cm，4cm
考点：三角形三边关系．
分析：看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
解答：解：A、3+4＞5，能构成三角形；
B、1+2=3，不能构成三角形；
C、11+12＜25，不能构成三角形；
D、2+2=4，不能构成三角形．
故选A．
点评：本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和小于最大的数就可以．
5．（4分）关于x的方程2a?3x=6的解是非负数，那么a满足的条件是（ ）
A．a＞3B．a≤3C．a＜3D．a≥3
考点：一元一次方程的解；解一元一次不等式．
分析：此题可用a来表示x的值，然后根据x≥0，可得出a的取值范围．
解答：解：2a?3x=6
x=（2a?6）÷3
又∵x≥0
∴2a?6≥0
∴a≥3
故选D
点评：此题考查的是一元一次方程的根的取值范围，将x用a的表示式来表示，再根据x的取值判断，由此可解出此题．
6．（4分）学校计划购买一批完全相同的正多边形地砖铺地面，不能进行镶嵌的是（ ）
A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
考点：平面镶嵌（密铺）．
专题：几何图形问题．
分析：看哪个正多边形的位于同一顶点处的几个内角之和不能为360°即可．
解答：解：A、正三角形的每个内角为60°，6个能镶嵌平面，不符合题意；
B、正四边形的每个内角为90°，4个能镶嵌平面，不符合题意；
C、正五边形的每个内角为108°，不能镶嵌平面，符合题意；
D、正六边形的每个内角为120°，3个能镶嵌平面，不符合题意；
故选C．
点评：考查一种图形的平面镶嵌问题；用到的知识点为：一种正多边形镶嵌平面，正多边形一个内角的度数能整除360°．
7．（4分）下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ）
A．270°B．1080°C．520°D．780°
考点：多边形内角与外角．
分析：利用多边形的内角和公式可知，多边形的内角和是180度的整倍数，由此即可找出答案．
解答：解：因为多边形的内角和可以表示成（n?2）•180°（n≥3且n是整数），则多边形的内角和是180度的整倍数，
在这四个选项中是180的整倍数的只有1080度．
故选B．
点评：本题主要考查了多边形的内角和定理，是需要识记的内容．
8．（4分）（2002•南昌）设“●”“▲”“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“■”“▲”“●”这三种物体按质量从大到小的排列顺序为（ ）
A．■●▲B．■▲●C．▲●■D．▲■●
考点：一元一次不等式的应用．
专题：压轴题．
分析：本题主要通过观察图形得出“■”“▲”“●”这三种物体按质量从大到小的排列顺序．
解答：解：因为由左边图可看出“■”比“▲”重，
由右边图可看出一个“▲”的重量=两个“●”的重量，
所以这三种物体按质量从大到小的排列顺序为■▲●，
故选B．
点评：本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是利用不等式及杠杆的原理解决问题．
二、填空题
9．（3分）已知点A（1，?2），则A点在第 四 象限．
考点：点的坐标．
分析：根据各象限内点的坐标特征解答．
解答：解：点A（1，?2）在第四象限．
故答案为：四．
点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（?，+）；第三象限（?，?）；第四象限（+，?）．
10．（3分）如图，直角三角形ACB中，CD是斜边AB上的中线，若AC=8cm，BC=6cm，那么△ACD与△BCD的周长差为 2 cm，S△ADC= 12 cm2．
考点：直角三角形斜边上的中线．
分析：过C作CE⊥AB于E，求出CD= AB，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CE，即可求出答案．
解答：解：过C作CE⊥AB于E，
∵D是斜边AB的中点，
∴AD=DB= AB，
∵AC=8cm，BC=6cm
∴△ACD与△BCD的周长差是（AC+CD+AD）?（BC+BD+CD）=AC?BC=8cm?6cm=2cm；
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= =10（cm），
∵S三角形ABC= AC×BC= AB×CE，
∴ ×8×6= ×10×CE，
CE=4.8（cm），
∴S三角形ADC= AD×CE= × ×10cm×4.8cm=12cm2，
故答案为：2，12．
点评：本考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，三角形的面积等知识点，关键是求出AD和CE长．
11．（3分）如图，象棋盘上“将”位于点（1，?2），“象”位于点（3，?2），则“炮”的坐标为 （?2，1） ．
考点：坐标确定位置．
分析：首先根据“将”和“象”的坐标建立平面直角坐标系，再进一步写出“炮”的坐标．
解答：解：如图所示，则“炮”的坐标是（?2，1）．
故答案为：（?2，1）．
点评：此题考查了平面直角坐标系的建立以及点的坐标的表示方法．
12．（3分）（2006•菏泽）黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖 4n+2 块．（用含n的代数式表示）
考点：规律型：图形的变化类．
专题：压轴题；规律型．
分析：通过观察，前三个图案中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以会发现后面的图案比它前面的图案多4块白色地砖，可得第n个图案有4n+2块白色地砖．
解答：解：分析可得：第1个图案中有白色地砖4×1+2=6块．第2个图案中有白色地砖4×2+2=10块．…第n个图案中有白色地砖4n+2块．
点评：本题考查学生通过观察、归纳的能力．此题属于规律性题目．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案有4n+2块白色地砖．
三、解答题（5分×5=25分）
13．（5分）用代入法解方程组： ．
考点：解二元一次方程组．
分析：把第二个方程整理得到y=3x?5，然后代入第一个方程求出x的值，再反代入求出y的值，即可得解．
解答：解： ，
由②得，y=3x?5③，
③代入①得，2x+3（3x?5）=7，
解得x=2，
把x=2代入③得，y=6?5=1，
所以，方程组的解是 ．
点评：本题考查了代入消元法解二元一次方程组，从两个方程中的一个方程整理得到y=kx+b的形式的方程是解题的关键．
14．（5分）用加减消元法解方程组： ．
考点：解二元一次方程组．
专题：计算题．
分析：根据x的系数相同，利用加减消元法求解即可．
解答：解： ，
①?②得，12y=?36，
解得y=?3，
把y=?3代入①得，4x+7×（?3）=?19，
解得x= ，
所以，方程组的解是 ．
点评：本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解题的关键在于找出或构造系数相同或互为相反数的未知数．
15．（5分）解不等式： ≥ ．
考点：解一元一次不等式．
分析：利用不等式的基本性质，首先去分母，然后移项、合并同类项、系数化成1，即可求得原不等式的解集．
解答：解：去分母，得：3（2+x）≥2（2x?1）
去括号，得：6+3x≥4x?2，
移项，得：3x?4x≥?2?6，
则?x≥?8，
即x≤8．
点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
16．（5分）解不等式组 ，并求其整解数并将解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，再其公共解集内找出符合条件的x的整数解即可．
解答：解： ，由①得，x＜1，由②得，x≥?2，
故此不等式组的解集为：?2≤x＜1，在数轴上表示为：
故此不等式组的整数解为：?2，?1，0．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
17．（5分）若方程组 的解x与y相等，求k的值．
考点：二元一次方程组的解．
专题：计算题．
分析：由y=x，代入方程组求出x与k的值即可．
解答：解：由题意得：y=x，
代入方程组得： ，
解得：x= ，k=10，
则k的值为10．
点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
四、解答题（5分×2=10分）
18．（2分）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．已知∠A=30°，∠FCD=80°，求∠D．
考点：三角形内角和定理．
分析：由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD，即∠AFE，再在△AEF中求解即可．
解答：解：∵DE⊥AB（已知），
∴∠FEA=90°（垂直定义）．
∵在△AEF中，∠FEA=90°，∠A=30°（已知），
∴∠AFE=180°?∠FEA?∠A（三角形内角和是180）
=180°?90°?30°
=60°．
又∵∠CFD=∠AFE（对顶角相等），
∴∠CFD=60°．
∴在△CDF中，∠CFD=60°∠FCD=80°（已知）
∠D=180°?∠CFD?∠FCD
=180°?60°?80°
=40°．
点评：熟练掌握三角形内角和内角和定理是解题的关键．
19．（2分）已知：如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，F是AB上一点，D点在BC的延长线上．试证明∠1＜∠2．
考点：三角形的外角性质．
专题：证明题．
分析：由三角形的外角性质知∠2=∠ABC+∠BAC，∠BAC=∠1+∠AEF，从而得证．
解答：证明：∵∠2=∠ABC+∠BAC，
∴∠2＞∠BAC，
∵∠BAC=∠1+∠AEF，
∴∠BAC＞∠1，
∴∠1＜∠2．
点评：此题主要考查学生对三角形外角性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
五、作图题（6分）
20．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，请按下列要求画图．画
（1）∠BAC的平分线AD；
（2）AC边上的中线BE；
（3）AB边上的高CF．
考点：作图―复杂作图．
专题：作图题．
分析：（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧与边AB、AC两边分别相交于一点，再以这两点为圆心，以大于这两点距离的 为半径画弧相交于一点，过这一点与点A作出角平分线AD即可；
（2）作线段AC的垂直平分线，垂足为E，连接BE即可；
（3）以C为圆心，以任意长为半径画弧交BA的延长线于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间的长度的 为半径画弧，相交于一点，然后作出高即可．
解答：解：（1）如图，AD即为所求作的∠BAC的平分线；（2）如图，BE即为所求作的AC边上的中线；（3）如图，CF即为所求作的AB边上的高．
点评：本题考查了复杂作图，主要有角平分线的作法，线段垂直平分线的作法，过一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需熟练掌握．
六、解答题（21题5分）
21．（5分）在平面直角坐标中表示下面各点A（0，3），B（1，?3），C（3，?5），D（?3，?5），E（3，5），F（5，7）
（1）A点到原点O的距离是 3 ．
（2）将点C向x轴的负方向平移6个单位它与点 D 重合．
（3）连接CE，则直线CE与y轴位置关系是 平行 ．
（4）点F分别到x、y轴的距离分别是 7，5 ．
考点：坐标与图形变化-平移．
分析：先在平面直角坐标中描点．
（1）根据两点的距离公式可得A点到原点O的距离；
（2）找到点C向x轴的负方向平移6个单位的点即为所求；
（3）横坐标相同的两点所在的直线与y轴平行；
（4）点F分别到x、y轴的距离分别等于纵坐标和横坐标的绝对值．
解答：解：（1）A点到原点O的距离是3?0=3．
（2）将点C向x轴的负方向平移6个单位它与点D重合．
（3）连接CE，则直线CE与y轴位置关系是平行．
（4）点F分别到x、y轴的距离分别是7，5．
故答案为：3；D；平行；7，5．
点评：考查了平面内点的坐标的概念、平移时点的坐标变化规律，及坐标轴上两点的距离公式．本题是综合题型，但难度不大．
七、解答题（7分）
22．（7分）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次第二次
甲种货车辆数（辆）25
乙种货车辆数（辆）36
累计运货吨数（吨）15.535
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，则货主应付运费多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
专题：图表型．
分析：本题需知道1辆甲种货车，1辆乙种货车一次运货吨数．等量关系为：2辆甲种货车运货吨数+3辆乙种货车运货吨数=15.5；5辆甲种货车运货吨数+6辆乙种货车运货吨数=35．
解答：解：设甲种货车每辆每次运货x（t），乙种货车每辆每次运货y（t）．
则有 ，
解得 ．
30×（3x+5y）=30×（3×4+5×2.5）=735（元）．
答：货主应付运费735元．
点评：应根据条件和问题知道应设的未知量是直接未知数还是间接未知数．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：2辆甲种货车运货吨数+3辆乙种货车运货吨数=15.5；5辆甲种货车运货吨数+6辆乙种货车运货吨数=35．列出方程组，再求解．
23．（7分）探究：
（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2 = ∠B+∠C（填“＞”“＜”“=”），当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2= 280° ；
（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A=30°，则x+y=360°?（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°? 300° = 60° ，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为 ∠BDA+∠CEA=2∠A ．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：探究型．
分析：根据三角形内角是180度可得出，∠1+∠2=∠B+∠C，从而求出当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°，有以上计算可归纳出一般规律：∠BDA+∠CEA=2∠A．
解答：解：（1）根据三角形内角是180°可知：∠1+∠2=180°?∠A，∠B+∠C=180°?∠A，
∴∠1+∠2=∠B+∠C；（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°，
∴∠1+∠2=∠B+∠C；
当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°；（3）如果∠A=30°，则x+y=360°?（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°?300°=60°，
所以∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A．
点评：本题考查图形的翻折变换和三角形，四边形内角和定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．