贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题
数 学（理科）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上。
3．第Ⅰ卷共2页，答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。
4．第Ⅱ卷一律用黑色签字笔写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。
5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
参考公式：
1．若事件 互斥，则 ．
2．若事件 相互独立，则 ．
球的表面积公式 ，球的体积公式 ，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列 中， ， （ ）
A. B. C． D．以上都不对
3.函数y＝2-x＋1（x＞0）的反函数是 （ ）
A. y＝log2 ，x∈（1，2） B. y＝1og2 ，x∈（1，2）
C．y＝log2 ，x∈（1，2 D．y＝1og2 ，x∈（1，2
4. “ ”是“ 的展开式的第三项是60 ”的 （ ）
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 若向量a→＝(cos α ，sin α)，b→＝(cos β ，sin β)，则a→与b→一定满足 ( )
A．a→∥b→ B. a→⊥b→ C． 夹角为α－β D．(a→＋b→)⊥(a→－b→)
6.函数 的图象大致为 （ ）
A. B. C. D.
7. 某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种
8. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的
中心，则点O到平面ABC1D1的距离为 （ ）
A． B. C． D．
9. 过双曲线 上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
10.如果 ，且 ，那么角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则所截得
几何体(球内部分)的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
12.如果以原点为圆心的圆经过双曲线 的焦点，且被该双曲线的右准线分成弧长为２：１的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于（ ）
A． B. Ｃ． Ｄ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13. 直线 的倾斜角 =_________________ ．
14．已知点 在不等式组 所表示的平面区域内，
则 的最小值为________．
15.函数 对于任意实数 满足条件： ，若
则 _______________．
16．桌面上一矩形纸板ABCD，绕边AB旋转 ，再绕边AD旋转 ，则此时的平面与旋转前的平面所成的二面角的大小为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分10分）
在△ABC中，tanA= ，tanB= ．
(1)求角C的大小；
(2)若AB边的长为 ，求BC边的长．
18. （本小题满分12分）
在贵阳市举办的第九届全国少数民族传统体育运动会的某个餐饮点上，遵义市某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过23 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过23℃但不超过26 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过26 ℃，则日销售量为200瓶．据气象部门预测，贵阳市在运动会期间每一天日平均气温不超过23 ℃，超过23 ℃但不超过26 ℃，超过26 ℃这三种情况发生的概率分别为P1，P2，P3，又知P1，P2为方程5x2－3x＋a＝0的两根，且P2＝P3.
(1)求P1，P2，P3的值；
(2)记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，
求：ξ的分布列及数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， 侧面 ，△ 是等边三角形， ， ， 是线段 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）
已知数列 满足 ．
（1） 求数列 的通项公式；
（2）求满足 的最小正整数m的值．
21. （本小题满分12分）
已知椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴两个端点分别为 ，且四边形 是边长为2的正方形．
（I）求椭圆方程；
（II）若 分别是椭圆长轴的左、右两端点，动点 满足 ，连结 ，交椭圆于点 .求证： 为定值．
22. （本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若当 时（其中 ），不等式 恒成立，
求实数 的取值范围；
（3）若关于 的方程 在区间 上恰好有两个相异的实根，
求实数 的取值范围．
数学理答案
一、选择题：
C B B A D A D B A C A B
二、填空题：
13． 14． 15． 16．
三、解答题：
17．解 （Ⅰ） ，
．又 ， ．……5分
（Ⅱ）由 且 ，得 ． … …… …7分
， ．……10分
18．解：(1)由已知得P1＋P2＋P3＝1P1＋P2＝35P2＝P3，解得：P1＝15，P2＝25，P3＝25.……5分
(2)ξ的可能取值为200,250,300,350,400. … …… … … …… …… …6分
P(ξ＝200)＝15×15＝125，P(ξ＝250)＝2×15×25＝425，P(ξ＝300)＝2×15×25＋25×25＝825，
P(ξ＝350)＝2×25×25＝825，P(ξ＝400)＝25×25＝425. ……………………10分
随机变量ξ的分布列为
ξ200250300350400
P125
425
825
825
425
所求的数学期望为Eξ＝200×125＋250×425＋300×825＋350×825＋400×425＝320(瓶)
19．（Ⅰ）证明：因为 侧面 ， 平面 ，
所以 .
又因为△ 是等边三角形， 是线段 的中点，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．…………………………………………5分
（Ⅱ）解：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
则 ， ， ， ．
， ， ．
设 为平面 的法向量．
由 即
令 ，可得 ．………………………9分
设 与平面 所成的角为 ．
．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ． …………………………………12分
20．解：（1）由 ，
，∴数列｛ ｝是首项为３，公比为３的等比数列，
∴ ， ……………………………4分
∴ ……………………………6分
（２）由1知
…10分
.令 ，解得 故所求 的最小值为5. ……12分
21．（I） ， ， 椭圆方程为 .………4分
（II） ，设 ，则 .
直线 ： ，即 ，…… … … … … … 6分
代入椭圆 , 得 。… … … …… … …8分
. ，…………………………10分
（定值）.……………………12分
22．解析 因为
所以 …….…….………. …….……….………1分
令
或 ，
所以 的单调增区间为 和 ；
令 或
所以 的单调减区间为 和 …….… ……4分
（2）令 或
函数 在 上是连续的，
又
所以，当 时， 的最大值为
故 时，若使 恒成立，则 ……8分
（3）原问题可转化为：方程 在区间 上恰好有两个相异的实根.
令 则 令 解得：
当 时， 在区间 上单调递减，
当 时， 在区间 上单调递增.
在 和 处连续，
又 且
当 时， 的最大值是 的最小值是
在区间 上方程 恰好有两个相异的实根时，
实数 的取值范围是： ……12分