2014南昌二中高考数学第十一次模拟试卷(带答案文科)

2014南昌二中高考数学第十一次模拟试卷(带答案文科)
一、选择题(题型注释)
1.设集合 ,集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.复数 的计算结果是( )
A. B. C. D.
3.若双曲线 的离心率为 ,则m=
A. B.3 C. D.2
4.设等差数列{ }的前n项和为Sn,若a1=1,a2+a3=11,则S6一S3=
A.27 B.39C.45 D.63
5.某几何体的三视图如题(6)所示,其侧视图是一个边长为1的等边三角形,俯视图是两个正三角形拼成的菱形,则这个几何体的体积为( )

A.1 B. C. D.
6.若直线 与圆 相切,且 为锐角,则这条直线的斜率是( )
A. B. C. D.
7.若下面框图所给的程序运行结果为 ,那么判断框中应填入的关于 的条件是( )

A. B. C. D.

8.已知 中, 边的中点,过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ,若 , ,其中 ,则 的最小值是( )
A.1 B. C. D.
9.设 满足不等式组 ,若 的最大值为 ,最小值为 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知 为 的导函数,则 的图象大致是( )

二、填空题(题型注释)
11.若 ,则 .
12.直线 与椭圆 相交于 、 两点,过点 作 轴的垂线,垂足恰好是椭圆的一个焦点,则椭圆的离心率是 .
13.在已知平面区域 ,直线 和曲线 有两个不同的交点,直线 与曲线 围成的平面区域为 ,向区域 内随机投一点 ,点 落在区域 内的概率为 ,若 ,则实数 的取值范围是 .
14.函数 ,若不等式 的解集为 ,则实数 的值为 .
15.空间中任意放置的棱长为2的正四面体 .下列命题正确的是_________.(写出所有正确的命题的编号)
①正四面体 的主视图面积可能是 ;
②正四面体 的主视图面积可能是 ;
③正四面体 的主视图面积可能是 ;
⑤正四面体 的主视图面积可能是
⑥正四面体 的主视图面积可能是 .


三、解答题(题型注释)
16.已知函数 .
(1)设 ,且 ,求 的值;
(2)在△ABC中,AB=1, ,且△ABC的面积为 ,求sinA+sinB的值.

17.已知数列 的前n项和为 满足: .
(1)求证:数列 是等比数列;
(2)令 ,对任意 ,是否存在正整数m,使 都成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.


18.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一点,△AEC面积的最小值是3.


(1)求证: AC⊥DE;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积.


19.一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为 .
(1)记 ,求 的概率;
(2)若方程 至少有一根 ,就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率.

20.已知椭圆 的左焦点为 ,左、右顶点分别为 ,过点 且倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点,椭圆 的离心率为 , .
(1)求椭圆 的方程;
(2)若 是椭圆上不同两点, 轴,圆 过点 ,且椭圆上任意一点都不在圆 内,则称圆 为该椭圆的内切圆.问椭圆 是否存在过点 的内切圆?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.


21.已知函数 , .
(1)当 时,求 的单调区间;
(2)已知点 和函数 图象上动点 ,对任意 ,直线 倾斜角都是钝角,求 的取值范围.

南昌二中2014届高三第十一次模拟考试试题
数学(文)参考答案
1.A 2.(B) 3.B 4.B 5.C 6.A 7.(D)
8.A
【解析】
试题分析:由已知得: ,因为D、E、F三点共线,所以 ,由重要不等式得: .

考点:向量的运算.
9.B
10.A
【解析】因为, ,所以, 为奇函数,其图象关于原点对称.可排除 ;由于 时, ,
即 的图象位于 轴下方,故选 .
考点:函数的奇偶性、单调性,导数的计算.
11.
12.
13.
14.3
当光线平行于底面 ,沿 方向时,主视图为图中△ ,则其面积为 ,①正确;
将正四面体放入正方体中,如上右图,光线垂直于正方体正对我们的面时,主视图是正方形,其面积为 ,并且此时主视图面积最大,故③正确,④⑤不正确.
考点:1.几何体的三视图;2.几何图形的面积.
16.(1) ,(2)
【解析】
试题分析:(1)研究三角函数性质,首先将三角函数化为基本三角函数形式,即: = = .再由 得 于是 ,因为 ,所以 .(2)解三角形,基本方法利用正余弦定理进行边角转化. 因为△ABC的面积为 ,所以 ,于是 .因为 ,由(1)知 .由余弦定理得 ,所以 .可得 或 由正弦定理得 ,所以 .
【解】(1) = = .
由 ,得 ,
于是 ,因为 ,所以 .
(2)因为 ,由(1)知 .
因为△ABC的面积为 ,所以 ,于是 . ①
在△ABC中,设内角A、B的对边分别是a,b.
由余弦定理得 ,所以 . ②
由①②可得 或 于是 .
由正弦定理得 ,
所以 .
考点:三角函数性质,正余弦定理
17.(1)详见解析;(2)m的值为1,2,3.
【解析】试题分析:(1)首先由题设找到 与 间的关系,然后证明 是一个常数.(2)首先求得
,由此得 ,用裂项法可求得和 .由 对任意 都成立,得 ,即 对任意 都成立,所以 小于等于 的最小值.
(1)当 时, ,解得 , 1分
当 时,由 得 , 2分
两式相减,得 ,即 ( ), 3分
则 ,故数列 是以 为首项,公比为3的等比数列. 4分
(2)由(1)知 ,
, 6分
所以 , 7分
则 , 8分
由 对任意 都成立,得 , 10分
即 对任意 都成立,又 ,
所以m的值为1,2,3. .12分
考点:1、等比数列;2、裂项法求和;3、不等关系.
18.(1)详见解析,(2) .
【解析】试题分析:(1)证明线线垂直,一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC.因而AC⊥平面PDB,从而AC⊥DE.(2)设AC与BD相交于点F.连EF.由(1),知AC⊥平面PDB,所以AC⊥EF.所以S△ACE= AC•EF,因此△ACE面积最小时,EF最小,则EF⊥PB.由△PDB∽△FEB,解得PD= ,因为PD⊥平面ABCD,所以VP―ABCD= S□ABCD•PD= ×24× = .
(1)证明:连接BD,设AC与BD相交于点F.
因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因为PD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PD⊥AC.
而AC∩BD=F,所以AC⊥平面PDB.
E为PB上任意一点,DE 平面PBD,所以AC⊥DE.
(2)连EF.由(1),知AC⊥平面PDB,EF 平面PBD,所以AC⊥EF. S△ACE= AC•EF,在△ACE面积最小时,EF最小,则EF⊥PB.
S△ACE=3, ×6×EF=3,解得EF=1.
由△PDB∽△FEB,得 .由于EF=1,FB=4, ,
所以PB=4PD,即 .解得PD=
VP―ABCD= S□ABCD•PD= ×24× = .
考点:线面垂直性质与判定定理,四棱锥体积
19.(1) ;(2) .
【解析】
试题分析:(1)由于要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次,故基本事件共有4×4=16个,然后求出 时,基本事件的个数,代入古典概型公式即可得到结果;(2)分类讨论方程根分别为1,2,3,5时,基本事件的个数,然后代入古典概型公式即可得到结果.
(1)因为是投掷两次,因此基本事件 共有16个,
当 时, 的所有取值为(1,3),(3,1),
所以 .
(2)①若方程一根为 ,则 ,即 ,不成立.
②若方程一根为 ,则 ,即 ,所以 .
③若方程一根为 ,则 ,即 ,所以 .
④若方程一根为 ,则 ,即 ,所以 .
综合①②③④知, 的所有可能取值为(1,2),(2,3), (3, 4),所以,“漂亮方程”共有3个,方程为“漂亮方程”的概率为 .
考点:1.创新能力;2.古典概型.
20.(1) ;(2)存在
【解析】试题分析:(1)由离心率为 ,倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点, .通过联立直线方程与椭圆的方程,可求得 的值.即可得结论.
(2)依题意可得符合要求的圆E,即为过点 , 的三角形的外接圆.所以圆心在x轴上.根据题意写出圆E的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到点 距离的最小值是 ,结合图形可得圆心E在线段 上,半径最小.又由于点F已知,即可求得结论.
试题解析:(1)因为离心率为 ,所以 ,
所以椭圆方程可化为: ,直线 的方程为 , 2分
由方程组 ,得: ,即 , 4分
设 ,则 , 5分
又 ,
所以 ,所以 ,椭圆方程是 ; 7分
(2)由椭圆的对称性,可以设 ,点 在 轴上,设点 ,
则圆 的方程为 ,
由内切圆定义知道,椭圆上的点到点 距离的最小值是 ,
设点 是椭圆 上任意一点,则 , 9分
当 时, 最小,所以 ① 10分
又圆 过点 ,所以 ② 11分
点 在椭圆上,所以 ③ 12分
由①②③解得: 或 ,
又 时, ,不合,
综上:椭圆 存在符合条件的内切圆,点 的坐标是 . 13分
考点:1.待定系数求椭圆方程.2.函数的最值.3.方程的思想解决解决解几问题.3.归纳化归的思想.4.运算能力.
21.(1)单调递增区间为 ,单调递减区间为 ;(2)
【解析】
试题分析:(1)先求导,再令导数等于0,解导数大于0得函数的增区间,解导数小于0得函数的减区间。(2)可将问题转化为在 上 恒成立问题,即在 上 。先求导 ,因为 ,故可只讨论分子的正负问题,不妨令 ,讨论 在区间 上的正负问题,同时注意对 的讨论。根据导数正得增区间导数负得减区间,再根据函数的单调性求函数的最值。
解:⑴ 当 时, ,定义域为 ,


所以当 时, 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
⑵ 因为对任意 ,直线 的倾斜角都是钝角,
所以对任意 ,直线 的斜率小于0,即 , ,
即 在区间 上的最大值小于1,
, .

①当 时, 在 上单调递减, ,显然成立,所以 .
②当 时,二次函数 的图象开口向下,
且 , ,
, ,故 , 在 上单调递减,
故 在 上单调递减, ,显然成立,所以 .
⑶ 当 时,二次函数 的图象开口向上,且 , .
所以 ,当 时, . 当 时, .
所以 在区间 内先递减再递增.
故 在区间 上的最大值只能是 或 .
所以 即 所以 .
综上 .
考点:1用导数研究函数的性质;2分类讨论思想。