古典概型复习检测（有解析2015数学高考一轮）
A组 基础演练
1．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是
( )
A.45 B.35
C.25 D.15
答案：B
2．(2013•江西)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是
( )
A.23 B.12
C.13 D.16
解析：从A、B中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种情况，所以所求概率P＝26＝13，选C.
答案：C
3．一个袋中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是
( )
A.15 B.310
C.25 D.12
解析：从袋中任取两个球，其一切可能结果有
(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个，同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P＝25.
答案：C
4．(2013•安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
( )
A.23 B.25
C.35 D.910
解析：记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件A的概率为P(A)＝110，
∴P(A)＝1－P(A)＝910.选D.
答案：D
5．(理科)(2013•江西)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．
解析：从正整数m，n(m≤7，n≤9)中任取两数的所有可能结果有C17C19＝63(个)，其中m，n都取奇数的结果有C14C15＝20(个)，故所求概率为2063.
答案：2063
5．(文科)将包含甲、乙两人的4名同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为________．
解析：依题意得，将4名同学平均分成2个小组，共有3种不同的方法，因此甲、乙两名同学分在同一小组的概率为13，故填13.
答案：13
6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.
答案：34
7．(2013•课标全国Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求概率为210＝0.2.
答案：0.2
8．(2013•江西)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.
(2)数量积为－2的有OA2→•OA5→，共1种；数量积为－1的有OA1→•OA5→，OA1→•OA6→，OA2→•OA4→，OA2→•OA6→，OA3→•OA4→，OA3→•OA5，共6种；
数量积为0的有OA1→•OA3→，OA1→•OA4→，OA3→•OA6→，OA4→•OA6→，共4种；
数量积为1的有OA1→•OA2→，OA2→•OA3→，OA4→•OA5→，OA5→•OA6→，共4种．
故所有可能的情况有15种．
所以小波去下棋的概率为p1＝715；
因为去唱歌的概率为p2＝415，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝1－415＝1115.
9．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b，
则有(－1，－2)，(－1，－1)，…，(－1,4)；(1，－2)，(1，－1)，…，(1,4)；…；(5，－2)，(5，－1)，…，(5,4)，共36种取法．
由于函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝2ba，
要使y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
必有a＞0且2ba≤1，即a＞0且2b≤a.
若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；
若a＝3，则b＝－2，－1,1；若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；
若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.
故满足题意的事件包含的基本事件的个数为2＋3＋3＋4＋4＝16.
因此所求概率为1636＝49.
B组 能力突破
1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A．0.35 B．0.25
C．0.20 D．0.15
解析：由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为520＝14＝0.25.故选B.
答案：B
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于
( )
A.110 B.18
C.16 D.15
解析：从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形经列举共有15个，而其中是矩形的共有3个，所以所求概率为315＝15，故选D.
答案：D
3．(2013•浙江)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．
解析：设3名男同学分别为a1、a2、a3,3名女同学分别为b1、b2、b3，则从6名同学中任选2名的结果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P＝315＝15.
答案：15
4．(2014•广州调研)某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x分，“居民素质”得分为y分，统计结果如下表：
y
社区数量
x居民素质
1分2分3分4分5分
社区
服务1分13101
2分10751
3分21093
4分ab601
5分00113
(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即x≥3且y≥3)的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
(2)若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为110，求a，b的值．
解：(1)从题干表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分(即x≥3且y≥3)的社区数量为24个．
设“这个社区能进入第二轮评比”为事件A，则P(A)＝2450＝1225，
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225.
(2)从题干表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有(4＋a)个，
因为“居民素质”得1分的概率为110，
所以4＋a50＝110，
解得a＝1.
因为社区总数为50个，所以a＋b＋47＝50.
解得b＝2.