2015高考理科数学平面向量、复数总复习题(带答案)


[A组 基础演练•能力提升]
一、选择题
1.(2014年马鞍山期末)如图所示,已知AB→=2BC→,OA→=a ,OB→=b,OC→=c,则下列等式中成立的是(  )

A.c=32b-12a    B.c=2b-a
C.c=2a-b D.c=32a-12b
解析:由AB→=2BC→得
AO→+OB→=2(BO→+OC→),
即2OC→=-OA→+3OB→,即c=32b-12a.
答案:A
2.(2014年开封模拟)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD→=2DB→,CD→=13CA→+λCB→,则λ=(  )
A.-13    B.-23    C.13    D.23
解析:由题意,如图,

CD→=CB→-DB→=CB→-12AD→
=CB→-12(CD→-CA→)
=CB→-12CD→+12CA→,
∴32CD→=12CA→+CB→.
∴CD→=13CA→+23CB→.故λ=23.
答案:D
3.(2014年海滨一模)如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF→=(  )

A.12AB→+12AD→
B.-12AB→-12AD→
C.-12AB→+12AD→
D.12AB→-12AD→
解析:在△CEF中,有EF→=EC→+ CF→,因为E为DC的中点,所以EC→=12DC→.因为点F为BC的中点,所以CF→=12CB→.所以EF→=EC→+CF→=12DC→+12CB→=12AB→+12DA→=12AB→-12AD→.
答案:D
4.已知平面内有一点P及一个△ABC,若PA→+PB→+PC→=AB→,则(  )
A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上
C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上
解析:∵PA→+PB→+PC→=AB→,∴PA→+PB→+PC→-AB→=0,即PA→+PB→+BA→+PC→=0,∴PA→+PA→+PC→=0,2PA→=CP→,∴点P在线段AC上.
答案:D
5.(2014年大连联考)已知OA→=a,OB→=b,OC→=c,OD→=d,且四边形ABCD为平行四边形,则(  )
A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0
C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0
解析:依题意得,AB→=DC→,故AB→+CD→=0,即OB→-OA→+OD→-OC→=0,即有OA→-OB→+OC→-OD→=0,则a-b+c-d=0,故选A.
答案:A
6.(2014年延边质检)在△ABC中,N为边AC上一点,且AN→=13NC→,P是BN上一点,若AP→=mAB→+211AC→,则实数m的值为(  )
A.911 B.511 C.411 D.311
解析:由AP→=mAB→+211AC→,得 AP→=mAB→+211×4AN→=mAB→+811AN→,因为点B,P,N三点共线,所以m+811=1,即m=311.
答案:D
二、填空题
7.下列四个命题:①若|a|=0,则a为零向量 ;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0.其中正确个数有________个.
解析:②中两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向是相同或相反的;③中两个向量平行,只说明这两个向量的方向相同或相反,对向量的模没有要求;故只有①④正确.
答案:2
8.设a,b是两个不共线的非零向量,若8a+kb与ka+2b共线,则实数k=________.
解析:因为8a+kb与ka+2b共线,所以存在实数λ,使8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.又a,b是两个不共线的非零向量,故8-λk=0,k-2λ=0,解得k=±4.
答案:±4
9.(2014年 淮阴模拟)已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0.若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立, 则m=________.
解析:由题目条件可知,M为△ABC的重心,连接AM并延长交BC于D,则AM→=23AD→,因为AD为中线,则AB→+AC→=2AD→=3AM→,所以m=3.
答案:3
三、解答题
10.已知P为△ABC内一点,且3AP→+4BP→+5CP→=0.延长AP交BC于点D,若AB→=a,AC→=b,用a,b表示向量AP→、AD→.
解析: ∵BP→=AP→-AB→=AP→-a,
CP→=AP→-AC→=AP→-b,
又3AP→+4BP→+5CP→=0,
∴3AP→+4(AP→-a) +5(AP→-b)=0.
∴AP→=13a+512b.
设AD→=tAP→(t∈R),
则AD→=13t a+512tb.①
又设BD→=kBC→(k∈R),
由BC→=AC→-AB→=b-a,得BD→=k(b-a).
而AD→=AB→+BD→=a+BD→,
∴AD→=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.②
由①②,得13t=1-k,512t=k.解得t=43.
代入①,有AD→= 49a+59b.
∴AP→=13a+512b,AD→=49a+59b.
11.设 点O在△ABC内部,且有4OA→+OB→+OC→=0,求△ABC的面积与△OBC的面积之比.

解析:取BC的中点D,连接OD,
则OB→+OC→=2OD→,
又4OA→=-(OB→+OC→)=-2OD→,
即OA→=-12OD→,
∴O、A、D三点共线,且|OD→|=2|OA→|,
∴O是中线AD上靠近A点的一个三等分点,
∴S△ABC∶S △OBC=3∶2.
12.( 能力提升)已知a,b不共线,OA→=a,OB→=b,OC→=c,OD→=d,OE→=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.
解析:由题设知,CD→=d-c=2b-3a,CE→=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE→=kCD→,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
因为a,b不共线,所以有t-3+3k=0,t-2k=0,
解之得t=65.
故存在实数t=65使C,D,E三点在一条直线上.
[B组 因材施教•备选练习]
1.已知在△ABC中,D是AB边上的一点,CD→=λ(CA→|CA→|+CB→|CB→|),|CA→|=2,|CB→|=1,若CA→=b,CB→=a,则用a,b表示CD→为(  )
A.23a+13b B.13a+23b
C.13a+13b D.23a+23b
解析:由题意知,CD是∠ACB的角平分线,故CD→=CA→+AD→=CA→+23AB→=CA→+23(CB→-CA→)=23CB→+13CA→=23a+13b,故选A.
答案:A
2.(2014年荆州模拟)O是锐角三角形ABC的外心,由O向边BC,CA,AB引垂线,垂足分别是D,E,F给出下列命题:
①OA→+OB→+OC→=0;
②OD→+OE→+OF→=0;
③|OD→|∶|OE→|∶|OF→|=cos A∶cos B∶cos C;
④∃λ∈R,使得AD→=λAB→|AB→|sin B+AC→|AC→|sin C.
以上命题正确的个数是(  )[
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:OA→+OB→=2OF→,OA→+OC→=2OE→,OC→+OB→=2OD→,故OA→+OB→+OC→=OD→+OE→+OF→,OA→+OB→=2OF→不一定等于-OC→,故①,②不对;设角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=b2+a2-c22ba,a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆的半径,则|OD→|2=R2-a24,|OE→|2=R2-b24,|OF→|2=R2-c24,代入确定③是对的;存在λ=S|BC→|时,S是△ABC的面积,AD→=S|BC→|=AB→|AB→|sin B+AC→|AC→|sin C=SAB→|BC→||AB→|sin B+AC→|AC→||BC→|sin C=SAB→2S+AC→2S=12AB→+AC→,④也是对的.
答案:B
3.如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值 .

解析:设BM→=e1,CN→=e2,
则AM→=AC→+CM→=-3e2-e1,
BN→=2e1+e2,
∵A、P、M和B、P、N分别共线,∴存在λ、μ∈R,
使AP→=λAM→=-λe1-3λe2,BP→=μBN→=2μe1+μe2.
故BA→=BP→- AP→=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而BA→=BC→+CA→=2e1+3e2,
∴λ+2μ=23λ+μ=3,∴λ=45μ=35,
∴AP→=45AM→,∴PM→=15AM→,即AP∶PM=4∶1.