2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A•B)=P(A)•P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 （ I B）=（ ）
A．{1}B．{1，2}C．{2}D．{0，1，2}
2．设复数： 为实数，则x=（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
3． “a=b”是“直线 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
4． 的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（ ）
A．4项B．3项C．2项D．1项
5．设函数 为（ ）
A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，数小正周期为 D．非周期函数
6．已知向量 （ ）
A．30°B．60°
C．120°D．150°
7．已知函数
，下面四个图象中
的图象大致是（ ）
8． （ ）
A．－1B．1C．－ D．
9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知实数a, b满足等式 下列五个关系式
①0
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．在△OAB中，O为坐标原点， ，则△OAB的面积达到最大值时， （ ）
A． B． C． D．
12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上.
13．若函数 是奇函数，则a= .
14．设实数x, y满足 .
15．如图，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，
AB=BC= ，BB1=2， ，
E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E
到F两点的最短路径的长度为 .
16．以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若 则动点P的轨迹为椭圆；
③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数 （a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；
18．（本小题满分12分）
已知向量 .
是否存在实数 若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.
19．（本小题满分12分）
A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求 的取值范围；
（2）求 的数学期望E .
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD―A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1―EC―D的大小为 .
21．（本小题满分12分）
已知数列
（1）证明
（2）求数列 的通项公式an.
22．（本小题满分14分）
如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A
二、填空题
13． 14． 15． 16．③④
三、解答题
17．解：（1）将 得
（2）不等式即为
即
①当
②当
③ .
18．解：
19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 ，可得：
（2）
20．解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1―EC―D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而 ，
，设平面ACD1的法向量为 ，则
也即 ，得 ，从而 ，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量 ，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴ （不合，舍去）， .
∴AE= 时，二面角D1―EC―D的大小为 .
21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
∴ ，命题正确.
2°假设n=k时有
则
而
又
∴ 时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时， ∴ ；
2°假设n=k时有 成立，
令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设
有： 即
也即当n=k+1时 成立，所以对一切
（2）下面来求数列的通项： 所以
,
又bn=－1，所以
22．解：（1）设切点A、B坐标分别为 ，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，
所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
（2）方法1：因为
由于P点在抛物线外，则
∴
同理有
∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当 所以P点坐标为 ，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当 时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
，同理可得到P点到直线BF的距离 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.