2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数学（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设复数 (其中 为虚数单位)，则 等于( )
A．1+ B． C． D．
2．下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．若“ ”为假命题，则 、 均为假命题
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”的必要不充分条件是“ ”
D．若命题p：“ 实数x使 ”，则命题 为“对于 都有 ”
3．执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是( )
A． B． C． D．
4．已知 是等差数列， 是其前n项和，若公差 且 ，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图是函数 图像的一部分，则（ ）
A． B．
C． D．
6．将直线 沿 轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数 的值为( )
A．－3或7 B．-2或8 C．0或10 D．1或11
7．在平面直角坐标系中，若不等式组 表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B表示事件“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=( )
A． B． C． D．
9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )
A． B． C．1 D．
10．在平面直角坐标系中，由x轴的正半轴、y轴的正半轴、曲线 以及该曲线在 处的切线所围成图形的面积是( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．二项式 的展开式中常数项为 ；
12．若 则 ；
13． 平面ABC， ，且PA=AB=BC，则异面直线PB与AC所成角等于 ；
14．若函数 对于 都有 和 成立，当 时， ，则 ；
15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A（选修4―4坐标系与参数方程）已知点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值是 ；
B（选修4―5不等式选讲）已知 则 的最大值是 .；
C(选修4―1几何证明选讲）如图， 内接于 ， ，直线 切 于点C， 交 于点 .若 则 的长为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）已知等差数列 ，满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项 ；
（Ⅱ）令 （ ），求数列 的前n项和 ．
17．（本小题满分12分）在 中，角A,B,C的对边分别为 ,b,c,且满足 ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量 ，当k>1时， 的最大值是5，求k的值．
18．（本小题满分12分）某企业规定，员工在一个月内有三项指标任务，若完成其中一项指标任务，可得奖金160元；若完成其中两项指标任务可得奖金400元；若完成三项指标任务可得奖金800元；若三项指标都没有完成，则不能得奖金且在基本工资中扣80元，假设员工甲完成每项指标的概率都是 .
（Ⅰ）求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率；
（Ⅱ）求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）直三棱柱 中， ，D是 上一点，且 平面 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的正弦值．
20.（本小题满分13分）已知函数 .
（Ⅰ）当 为何值时， 无极值；
（Ⅱ）试确定实数 的值，使 的极小值为 .
21．（本小题满分14分）已知椭圆E： 与双曲线G： ，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且 ？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题：
题号12345678910
答案ACCDCAABDD
二、填空题:
（一）必做题
11．28； 12． ； 13． ； 14．1
（二）选做题
15．(1) ；(2) ；(3) ．
三、解答题
16. （本小题满分12分）
（1）
（2）
17. （本小题满分12分）
解：(1)
又在 中， ，所以 ，则
(2) ,
.
又 ，所以 ，所以 .
所以当 时， 的最大值为 .
18. （本小题满分12分）
解：设员工甲在一个月内所得奖金为 元，
则由题意可知 的可能取值为
∵
∴ 的分布列为：
400800
数学期望为 元
19．（本小题满分12分）
解：（1） 平面ABC，AB 平面ABC，∵ AB．
又 平面 ，且AB 平面 ，∴ 又
∴ 平面 ．
（２） BC∥ ，∴ 或其补角就是异面直线 与BC所成的角．
由（１）知 又ＡＣ＝２，∴AB=BC= ，∴ .
在 中，由余弦定理知cos
∴ = ,即异面直线 与BC所成的角的大小为
（3）过点D作 于E，连接CE，由三垂线定理知 ，
故 是二面角 的平面角，又 ，∴E为 的中点，∴
，又 ，由
得 ，在Rt CDE中，sin .
20. （本小题满分13分）
（1）
（2）
21．（本小题满分14分）