2013年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)

徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅰ卷

参考公式:
样本数据 的标准差 ,其中 .
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.若集合 , ,则 = ▲ .
2.设i是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 的值为 ▲ .
3.已知样本 的平均数是 ,且 ,则此样本的标准差是 ▲ .
4.在集合 中任取一个元素,
所取元素恰好满足方程 的概率是 ▲ .
5.已知双曲线与椭圆 有相同的焦点,且它们的
离心率互为倒数,则该双曲线的方程为 ▲ .
6.已知某算法的伪代码如右,根据伪代码,若函数
7. 在 上有且只有两个零点,则实数
的取值范围是 ▲ .
7.已知 ,则 ▲ .
8.有一个正四面体的棱长为 ,现用一张圆形的包装纸将其完全包住(不能裁剪纸,但可以折叠),那么包装纸的最小半径为 ▲ .
9.过点 的直线将圆 分成两段圆弧,要使这两段弧长之差最大,则该直线的方程为 ▲ .
10.已知数列 的前 项和 ,且 的最大值为8,则
▲ .
11.已知中心为 的正方形 的边长为2,点 分别为线段 上的两个不同点,且 ,则 的取值范围是 ▲ .
12.在数列 中,已知 , ,当 时, 是 的个位数,
则 ▲ .
13.已知 ,若实数 满足 ,则 的最小值是 ▲ .
14.设曲线 在点 处的切线为 ,曲线 在点 处的切线为 .若存在 ,使得 ,则实数 的取值范围是 ▲ .
二、解答题: 本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
设 的内角 所对的边分别为 .已知 , , .
⑴求边 的长;
⑵求 的值.

16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥 中, 平面 ,四边形 是平行四边形,且 , , , 分别是 , 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)若 ,垂足为 ,求证: .


17.(本小题满分14分)
某人 年底花 万元买了一套住房,其中首付 万元, 万元采用商业贷款.贷款的月利率为 ‰,按复利计算,每月等额还贷一次, 年还清,并从贷款后的次月开始还贷.
⑴这个人每月应还贷多少元?
⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房 万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据: )

18.(本小题满分16分)
已知椭圆 : 的离心率为 ,右焦点为 ,且椭圆 上的点到点 距离的最小值为2.
⑴求椭圆 的方程;
⑵设椭圆 的左、右顶点分别为 ,过点 的直线 与椭圆 及直线 分别相交于点 .
(?)当过 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程;
(?)若 ,求 的面积.

19.(本小题满分16分)
已知数列 ,其前 项和为 .
⑴若对任意的 , 组成公差为 的等差数列,且 , ,求 的值;
⑵若数列 是公比为 的等比数列, 为常数,求证:数列 为等比数列的充要条件为 .

20.(本小题满分16分)
已知函数 , , .
⑴求函数 的单调区间;
⑵记函数 ,当 时, 在 上有且只有一个极值点,求实 数 的取值范围;
⑶记函数 ,证明:存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点.
徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图, 的半径 垂直于直径 , 为 上一点, 的延长线交 于点 , 过 点的切线交 的延长线于点 .
(1)求证: ;
(2)若 的半径为 , ,
求 长.

B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
设 , ,试求曲线 在矩阵 变换下的曲线方程.

C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,已知点 为圆 上任一点.求点 到直线 的距离的最小值与最大值.


D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知 为正数,且满足 ,求证: .

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.过直线 上的动点 作抛物线 的两切线 , 为切点.
(1)若切线 的斜率分别为 ,求证: 为定值;
(2)求证:直线 过定点.

23.已知 .
⑴求 及 ;
⑵试比较 与 的大小,并说明理由.

徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题:1. 2.3 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13.9 14.
二、解答题:
15.⑴由 ,得 .………………………………………………2分
因为 , ,所以 ,…………………………………………………4分
所以 ,
所以 .…………………………………………………………………………… 7分
⑵因为 , ,
所以 ,…………………………………9分
所以 ,……………………………………………………11分
因为 ,所以 ,故 为锐角,所以 ,
所以 . …………14分
16.(1)取 的中点 ,连结 , ,
因为 是 的中点,所以 , ,
又因为 是 中点,所以 ,
因为四边形 是平行四边形;
所以 ,所以 ,
所以四边形 是平行四边形,…………4分
所以 .因为 平面 ,
平面 ,
所以 平面 .……………………6分
(2)因为 平面 , 平面 ,
所以 ,又因为 , ,
平面 , 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 . ……………………………9分
又 , , 平面 , 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,……………………12分
又 , 是 中点,所以 ,……………………………………13分
又 , 平面 , 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 .……………………………………………………14分
17.⑴设每月应还贷 元,共付款 次,则有
,…………4分
所以 (元).………………………………6分
答:每月应还贷 元.………………………………………………………………7分
⑵卖房人共付给银行 元,
利息 (元),………………………………………………10分
缴纳差额税 (元),………………………………12分
(元).
答:卖房人将获利约 元.………………………………………………………14分
18.⑴由已知, ,且 ,所以 , ,所以 ,
所以椭圆 的方程为 .………………………………………………………3分
⑵(?)由⑴, , ,设 .
设圆的方程为 ,将点 的坐标代入,得
解得 ……………………………………………6分
所以圆的方程为 ,
即 ,
因为 ,当且仅当 时,圆的半径最小,
故所求圆的方程为 .………………………………………9分
(?)由对称性不妨设直线 的方程为 .
由 得 ,……………………………………………11分
所以 , ,
所以 ,
化简,得 ,…………………………………………………………14分
解得 ,或 ,即 ,或 ,
此时总有 ,所以 的面积为 .…………………………16分
19.⑴因为 成公差为 的等差数列,
所以 ,……………………………………………2分
所以 是公差为 的等差数列,且
, ……………………………4分
又因为 ,所以

所以 ,所以 .……………………………………………6分
⑵因为 ,所以 , ①
所以 , ②
②-①,得 , ③ ……………………………8分
(?)充分性:因为 ,所以 ,代入③式,得
,因为 ,又 ,
所以 , ,所以 为等比数列,……………………………………12分
(?)必要性:设 的公比为 ,则由③得 ,
整理得 ,……………………………………………14分
此式为关于n的恒等式,若 ,则左边 ,右边 ,矛盾;
,当且仅当 时成立,所以 .
由(?)、(?)可知,数列 为等比数列的充要条件为 .…………………16分
20.(1)因为 ,
①若 ,则 , 在 上为增函数,…………………………2分
②若 ,令 ,得 ,
当 时, ;当 时, .
所以 为单调减区间, 为单调增区间.
综上可得,当 时, 为单调增区间,
当 时, 为单调减区间, 为单调增区间. ……………4分
(2) 时, ,
, ……………………………………………………5分
在 上有且只有一个极值点,即 在 上有且只有一个根且不为重根,
由 得 , ………………………………………………………6分
(i) , ,满足题意;…………………………………………………………7分
(ii) 时, ,即 ;………………………………………8分
(iii) 时, ,得 ,故 ;
综上得: 在 上有且只有一个极值点时, . ……………………………9分
注:本题也可分离变量求得.
(3)证明:由(1)可知:
(i)若 ,则 , 在 上为单调增函数,
所以直线 与 的图象不可能有两个切点,不合题意.……………………10分
(?)若 , 在 处取得极值 .
若 , 时,由图象知不可能有两个切点.…………………………11分
故 ,设 图象与 轴的两个交点的横坐标为 (不妨设 ),
则直线 与 的图象有两个切点即为直线 与 和 的切点.
, ,
设切点分别为 ,则 ,且
, , ,
即 , ①
, ②
,③
①-②得: ,
由③中的 代入上式可得: ,
即 , ……………………………………………………………14分
令 ,则 ,令 ,因为 , ,
故存在 ,使得 ,
即存在一条过原点的直线 与 的图象有两个切点.……………………16分
徐州市2013年高考考前信息卷
数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准
21.
A.(1)连结ON.因为PN切⊙O于N,所以 ,
所以 .
因为 ,所以 .
因为 于O,所以 ,
所以 ,所以 .
所以 .……………………5分
(2) , , .
因为 ,
所以 .…………………………………………………………………………10分
B. ,…………………………………………………4分
设 是曲线 上的任意一点,在矩阵 变换下对应的点为 .
则 ,所以 即 ……………………………………8分
代入 ,得 ,即 .
即曲线 在矩阵 变换下的曲线方程为 .……………………10分
C.圆 的普通方程为 ,……………………… 2分
直线 的普通方程为 ,…………………………… 4分
设点 ,
则点 到直线 的距离 ,
…………………………………………………………………………………………8分
所以 ; .………………………………………………10分
D.由柯西不等式,得

.…………………………………………………………10分
22.(1)设过 作抛物线 的切线的斜率为 ,则切线的方程为 ,
与方程 联立,消去 ,得 .
因为直线与抛物线相切,所以 ,
即 . 由题意知,此方程两根为 ,
所以 (定值). ……………………………………………………………………4分
(2)设 ,由 ,得 .
所以在 点处的切线斜率为: ,因此,切线方程为: .
由 ,化简可得, .
同理,得在点 处的切线方程为 .
因为两切线的交点为 ,故 , .
所以 两点在直线 上,即直线 的方程为: .
当 时, ,所以直线 经过定点 .……………………………………10分
23.⑴令 ,则 ,令 ,则 ,所以 .……2分
⑵要比较 与 的大小,只要比较 与 的大小.
当 时, ;当 或 时, ,
当 或 时, ,
猜想:当 时, .下面用数学归纳法证明:…………………4分
①由上述过程可知,当 时,结论成立.…………………………………………5分
②假设当 时结论成立,即 ,
两边同乘以 ,得 ,


所以 ,
即 时结论也成立.
由①②可知,当 时, 成立.……………………………………9分
综上所述,当 时, ;当 或 时, ;
当 时, .………………………………………………………10分