望江四中2014届高三上学期第一次月考
数 学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题时120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）
1.若集合 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：集合A＝{ }，A＝{ }，所以，
2．在复平面内,复数 对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：原式＝ ＝ ，所以，对应的坐标为（0，－1），选A＞
3．已知 为等差数列，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为 为等差数列，若 ，所以， ，
4. 已知函数 有且仅有两个不同的零点 ， ，则（ ）
A．当 时， ， B．当 时， ，
C．当 时， ， D．当 时， ，
答案：B
解析：函数求导，得： ，得两个极值点：
因为函数f（x）过定点（0，－2），有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：
因此，可知， ，只有B符合。
5. 设集合 是 的子集，如果点 满足： ，称 为集合 的聚点.则下列集合中以 为聚点的有：① ； ② ； ③ ； ④ （ ）
A．①④B．②③C．①②D．①②④
答案：A
【解析】①中，集合 中的元素是极限为1的数列，
∴在 的时候，存在满足0＜|x－1|＜a的x，
∴1是集合 的聚点
②集合 中的元素是极限为0的数列，最大值为2，即｜x－1｜≥1
对于某个a＞1，不存在0＜|x－1| ，∴1不是集合 的聚点
③对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x?1|=0或者|x?1|≥1，也就是说不可能0＜|x?1|＜0.5，从而1不是整数集Z的聚点
④ ＞0，存在0＜|x－1|＜0.5的数x，从而1是整数集Z的聚点
故选A
6. 在下列命题中, ①“ ”是“ ”的充要条件;② 的展开式中的常数项为 ;③设随机变量 ~ ,若 ,则 .其中所有正确命题的序号是（ ）
A．② B．②③ C．③D．①③
答案：B
解析：①是充分不必要条件，故错误；② ，令12－4k＝0，得，k＝3，所以，常数项为2，正确；③正态分布曲线的对称轴是x＝0， ，所以， 正确；
7．已知偶函数 ,当 时, ,当 时, ( ).关于偶函数 的图象G和直线 : ( )的3个命题如下:
①当a=4时,存在直线 与图象G恰有5个公共点;
②若对于 ,直线 与图象G的公共点不超过4个,则a≤2;
③ ,使得直线 与图象G交于4个点,且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案：D
解析：因为函数 和 的图象的对称轴完全相同，所以两函数的周期相同，所以 ，所以 ，当 时， ，所以 ，因此选A。
8. 已知函数 ,定义函数 给出下列命题:
① ; ②函数 是奇函数;③当 时,若 , ,总有 成立,其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②B．①②C．③D．②③
答案：D
解析：① ，所以，错误；②当x＞0时，－x＜0，F（－x）＝－f（－x）＝－（ ）＝－f（x）＝F（x），为奇函数，同理可证当x＜0时也是奇函数，正确；
③因为mn＜0，不妨设m＞0，n＜0，又m＋n＞0，所以，｜m｜＞｜n｜，
＝ －（ ）＝ ，因为 ，所以，有 ＜0，正确。
9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（ ）
A．12种B．15种C．17种D．19种
答案：D
解析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有 取法；第二类，有两次取到3号球，共有 取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。
10．若函数 满足 ，且 时， ，函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为
A．6B．7C．8D．9
答案：C
解析：因为函数 满足 ，所以函数 是周期为2 的周期函数，又因为 时， ，所以作出函数 的图像：
由图知：函数 －g(x)在区间 内的零点的个数为8个。
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.设方程 的根为 ，设方程 的根为 ，则 。
答案：4
解析：在同一坐标系中作出函数 与 的图象。它们与直线 的交点为 、 ，则 。因为函数 与 互为反函数，由反函数性质知 ，所以 。
12. 数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 ．
答案：1006
解析：
所以 ，于是 。
13．若正整数 满足 ，则数组 可能是 .
答案：（3，2，2，2）
解析：不妨设 ，由题易得 ，通过验算可得 。
14. 已知a,b均为正数且 的最大值为 ．
答案：
解析：由柯西不等式可得：
15． 函数 的定义域为 ,若 且 时总有 ,则称 为单函数.例如,函数 是单函数.下列命题:①函数 是单函数;②函数 是单函数;③若 为单函数, 且 ,则 ;④函数 在定义域内某个区间 上具有单调性,则 一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
答案：③
解析：①若 ,则由 得 ,即 ,解得 ,所以①不是单函数.②若 则由函数图象可知当 ,时, ,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）
16．（本小题共12分）已知函数 ，其中
（1）对于函数 ，当 时， ，求实数 的取值集合；
（2）当 时， 的值为负，求 的取值范围。
17．（本小题共12分）如图,四棱锥 的底面 是正方形,棱 底面 , ＝１, 是 的中点．
(1)证明平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值。
18．（本小题共12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 . ① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
19．（本小题共12分）已知函数
(1)若 求 在 处的切线方程;
(2)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.
20．（本小题13分）如图，过抛物线 的对称轴上任一点 作直线与抛物线交于 、 两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（1）设 ，证明： ；
（2）设直线AB的方程是 ，过 、 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。
21．（本小题14分）已知函数 ( ).
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)当 时, 取得极值.
① 若 ,求函数 在 上的最小值;
② 求证:对任意 ,都有 .
理科数学解答题参考答案
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）
16．解:（1）容易知道函数 是奇函数、增函数。
（2）由（1）可知：当 时， 的值为负
且
17．证明:(1) ∵ , 是 的中点, ∴ .
∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,
故 底面 ,
所以有 .又由题意得 ,故 .
于是,由 , , 可得 底面 .
故可得平面 平面
(2)取CD的中点F，连接AC与BD，交点为Ｍ，取ＤＭ的中点N，连接ＥＮ，ＦＮ，易知 为二面角 的平面角，又 ， ，由勾股定理得 ，在 中，
所以二面角 的余弦值为
（用空间向量做，答案正确也给６分）
18.解： (1)选择②式计算
.
(2)猜想的三角恒等式为
.
证明：
19．解: (1)
在 处的切线方程为
(2)由
由 及定义域为 ,令
①若 在 上, , 在 上单调递增,
因此, 在区间 的最小值为 .
②若 在 上, , 单调递减;在 上, , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为
③若 在 上, , 在 上单调递减,
因此, 在区间 上的最小值为 .
综上,当 时, ;当 时, ;
当 时,
可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则
∴ 即 ,此时, .
所以, 的取值范围为
20．解: (1) 由题意，可设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 得
①
设 、 两点的坐标分别是 ，则 是方程①的两根，所以
由 得 ，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为 ，从而
所以
(2) 由 得 的坐标分别为
抛物线 在点A处切线的斜率为3.
设圆C的方程是 ，则
解之得
故，圆C的方程是
21．解：(1)
当 时,
解 得 或 , 解 得
所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为
(2)①当 时, 取得极值, 所以
解得 (经检验 符合题意)
+0-0+
ㄊㄋㄊ
所以函数 在 , 递增,在 递减
当 时, 在 单调递减,
当 时
在 单调递减,在 单调递增,
当 时, 在 单调递增,
综上, 在 上的最小值
②令 得 (舍)
因为 所以
所以,对任意 ,都有