2014蓟县擂鼓台高考数学二模试卷（附答案文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 设复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列｛a ｝中，已知a =2,a +a =13，则a 等于 （ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．双曲线 的焦距为（ ）．
A．1 B． C．3 D．
4． 是直线 和直线 垂直的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知 是第三象限角， ，则sin2 =（ ）
A． B． C． D．
6．名工人某天生产同一零件，生产的件数是 设其平均数为 ,中位数为 ,众数为 ，则有
Ａ． B． C． D．
7．如右程序框图，输出的结果为 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
8．同时具有性质“①最小正周期是 ，②图象关于直线 对称的一个函数是
A． B．
C． D．
9．．若函数 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
10．已知 是以 为周期的偶函数，当 时， ，那么在区间 内，关于 的方程 （ 且 ）有 个不同的根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D ．
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
11．已知集合 ，则
12．已知点A（a，1）与点B（a＋1，3）位于直线x－y＋1＝0的两侧，则a的取值范围
是 。
13．已知 ， ， =12则向量 在向量 上的夹角余弦为
14．圆内非直径的两条弦 相交于圆内的一点 ,已知 ,
16． 圆 关于直线 对称，则ab的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在 中，已知内角 ，边 .设内角 ,面积为 .
(1)若 ，求边 的长；
(2)求 的最大值.
18．（本小题满分12分）
如图，已知一四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，E是侧棱PC上的动点
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）证明：BD⊥AE。
19．（本小题满分12分）
甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由。
20．（本小题满分12分）
已知等差数列 的前n项和为 ，公差 成等比数列
（1）求数列 的通项公式；
（2）若从数列 中依次取出第2项、第4项、第8项， ，按原顺序组成一个新数列 ，且这个数列的前 的表达式．
21．（本小题满分14分）对于三次函数 。
定义：（1）设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”；
定义：（2）设 为常数，若定义在 上的函数 对于定义域内的一切实数 ，都有 成立，则函数 的图象关于点 对称。
己知 ，请回答下列问题：
（1）求函数 的“拐点” 的坐标
（2）检验函数 的图象是否关于“拐点” 对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数 ，使得它的“拐点”是 （不要过程）
22．．（本题14分）已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线. ，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明 为定值;
（II）若△POM的面积为 ，求向量 与 的夹角；
(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.
………………8分
=
………………10分
，
当 即 时， 取得最大值 . ………………14分
18. （1）解：该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.
∴ ----------------------------4分
(2)连结AC，∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且 平面 ∴BD⊥PC
又∵ ∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置，都有AE 平面PAC
∴BD⊥AE --------------------------------------------8分
(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)
所以甲胜的概率 ,乙胜的概率 ＝ -------------11分
所以这种游戏规则是公平的。-------------------------------------------------12分
20. 解：（1）依题意，得：
……2分 ……4分
……6分
（2） ……8分
21. （1）依题意，得： ，
。……………………2分
由 ，即 。∴ ，又 ，
∴ 的“拐点”坐标是 。……………………4分
（2）由(1)知“拐点”坐标是 。 而
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数………）都可以给分
（3） 或写出一个具体的函数,如 或 。…………12分
21. 解：⑴∵
∴
∴ 为等差数列，首项为 ，公差d=1(4分)
⑵由⑴得 ∴ (6分)
∴Sn=1•21＋2•22＋3•23＋…＋(n－1)•2n－1＋n•2n
2Sn=1•22＋2•23＋3•23＋…＋(n－1)•2n＋n•2n+1
两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n•2n+1
=
∴Sn=2－2n+1＋n•2n+1=(n－1)•2n+1＋2(10分)
⑶
∴ ∴ (12分)
又∵2(2n2＋n－1)－(2n2＋n)=2n2＋n－2
当n≥1时，2n2＋n－2>0 ∴2(2n2＋n－1)>2n2＋n>0
∴ 即bn＋1
数列{bn}中的最大值为b1=0.5
22. 解：（I）设点 、M、A三点共线，
…………………… 2分
…………………………………………… 5分
(II)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1.………………… 8分
又 …………………… 10分
(Ⅲ)设点 、B、Q三点共线，