2015高考数学二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
二元一次不等式(组)表示的平面区域2、5
线性目标函数的最值1、7、9
非线性目标函数的最值4、13、15
线性规划的应用6、10、11、16
含参数的线性规划问题3、8、12、14
一、选择题
1.(2013青岛市高三模拟)如果实数x、y满足条件 那么目标函数z=2x-y的最大值为( B )
(A)2(B)1(C)-2(D)-3
解析:
做出满足条件的可行域如图所示,由图可知,当目标函数直线经过点D(0,- 1)时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大,此时z=2×0-(-1)=1,所以最大值为1,故选B.
2.(2013山东省泰安市高三模拟)不等式组 所表示的平面区域的面积为( D )
(A)1(B) (C) (D)
解析:
做出不等式组对应的区域为△BCD.
由题意知xB=1,xC=2.
由
得yD= ,
所以S△BCD= ×(xC-xB)×
= .故选D.
3.(2012年高考福建卷)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件 则实数m的最大值为( B )
(A)-1(B)1(C) (D)2
解析:约束条件
表示的可行域如图阴影部分所示.
当直线x=m从如图所示的实线位置运动到过A点的位置时,m取最大值.
解方程组 得A点坐标为(1,2),
∴m的最大值为1,故选B.
4.(2013烟台市高三模拟)已知动点P(m,n)在不等式组 表示的平面区域内部及其边界上运动,则z= 的最小值是( D )
(A )4(B)3(C) (D)
解析:
做出不等式组对应的平面区域如图阴影所示.因为z= ,所以z的几何意义是区域内过任意一点P(x,y)与点M(5,3)两点的直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点AM时,斜率最小,由 得 即A(2,2),此时kAM= = ,所以z= 的最小值是 .故选D.
5.(2012汕头模拟)若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( D )
(A)a≥ (B)0
解析:如图所示,直线x+y=0从原点向右移动,移动到(1,0)时,再往右移,不等式组所表示的平面区域就不能构成三角形了;又从点A 向右移动时,不等式组所表示的平面区域为整个阴影部分的三角形.
∴0
(A)1800元(B)2400元
(C)2800元(D)3100元
解析 :设每天生产甲种产品x桶,乙种产品y桶,
则根据题意得x、y的约束条件为
设获利z元,则z=300x+400y.
画出可行域如图.
画直线l:300x+400y=0,
即3x+4y=0.
平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.
由
解得
即M的坐标为(4,4),
∴zmax=300×4+4 00×4= 2800(元).故选C.
7.(2013德州市高三模拟)已知变量x、y满足 则z=log2(2x+y+4)的最大值为( D )
(A)1(B) (C)2(D)3
解析:
设t=2x+y,
则y=-2x+t.
做出不等式组对应的可行域如图阴影部分.
当直线y=-2x+t经过点C时,直线y=-2x+t的截距最大,此时t最大,对应的z也最大,
由 得x=1,y= 2.
即C(1,2)代入t=2x+y得t= 4,
所以z=log2(2x+y+4)的最大值为log2(4+4)=log28=3.故选D.
二、填空题
8.(2013河北省重点中学联合考试)设z=2x+y,其中x,y满足 若z的最大值为6,则z的最小值为 .
解析:
不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=2x+y过点A(k,k)时,z取最大值,则zmax=3k=6,解得k=2,易知当直线z=2x+y过点B(-k,k)时,z取最小值,则zmin=-2.
答案:-2
9.(2013安徽省示范高中高三模拟)若实数x,y满足 则|x+2y|的值域为 .
解析:
可行域如图阴影部分.
设z=x+2y,
则y=- x+ .
易知点(1,-2),(-1,2)为最优解.
∴(x+2y)min=1+2×(-2)
=-3,
(x+2y)max=-1+2×2=3,
又可行域过原点,∴|x+2y|∈[0,3].
答案:[0,3]
10.(2013潍坊市高三模拟)若实数x,y满足 则z=3x+2y的值域是 .
解析:
令t=x+2y,
则y=- x+ ,
做出可行域,
平移直线y=- x,
由图象知当直线经过O点时,t最小,当经过点D(0,1)时,t最大,
所以0≤t≤2,所以1≤z≤9,即z=3x+2y的值域是[1,9].
答案:[1,9]
11.(2013濮阳模拟)已知点A(2,0),点P的坐标(x,y)满足 则| |•cos∠AOP(O为坐标原点)的最大值是 .
解析:法一
由题得, • =| |•| |cos∠AOP,
即| |cos∠AOP=
= =x.
由图知当P取B点时x最大,
又B(5,2),则| |cos∠AOP的最大值为5.
法二 | |•cos∠AOP即为 在 上的投影,即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值.
由 可得交点的坐标为(5,2),此时 | |•cos∠AOP取值最大,∴| |•cos∠AOP的最大值为5.
答案:5
12.(2012广州模拟)已知实数x、y满足
若目标函数z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a的值为 .
解析:画出平面区域所表示的图形,如图中的阴影部分所示,平移直线ax+y=0,可知当平移到与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y的最小值有无数多个.
答案:-1
13.(2013咸阳一模)设实数x、y满足 则 的最大值是 .
解 析:
不等式组确定的平面区域如图阴影部分.
设 =t,则y=tx,求 的最大值,即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过A点时,t最大.
由 解得A 1, .
代入y=tx,得t= .
所以 的最大值为 .
答案:
三、解答题
14.(2013黄山模拟)设x,y满足约束条件
(1)求目标函数z= x-y+ 的最值;
(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.
解:
(1)作出可行域如图所示,
可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移初始直线 x-y=0,过A(3,4)取最小值-2,过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1,最小值为-2.
(2)直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<- <2,
解得-4
15.实数x、y满足
(1)若z= ,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.
解:由 作出可行域如图中阴影部分所示.
(1)z= 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此 的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA的斜率不存在).
而由 得B(1,2),则kOB= =2.
∴zmax不存在,zmin=2,
∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.
因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),
最大为|OB|2.
由 得A(0,1),
∴|OA |2=( )2=1.
|OB|2=( )2=5.
∴z的最大值为5,没有最小值.
故z的取值范围是(1,5].
16.咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲种饮料每杯能获利润0.7元,乙种饮料每杯能获利润1.2元,每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?
解:设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润,利润总额为z元.
由条件知:z=0.7x+1.2y,变量x、y满足
作出不等式组所表示的可行域如图所示.
作直线l:0.7x+1.2y=0,
把直线l向右上方平移至经过A点的位置时,
z=0.7x+1.2y取最大值.
由方程组
得A点坐标(200,240).
答:应每天配制甲种饮料200杯,
乙种饮料240杯方可获利最大.