2015高考数学圆与方程一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
圆的方程1、10
与圆有关的最值9
与圆有关的轨迹2、14
与圆有关的对称4、13
直线与圆的位置关系3、11、12、15
圆的切线问题5、16
弦长问题6、8
圆与圆的位置关系7
一、选择题
1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( A )
(A)x2+(y-2)2=1(B)x2+(y+2)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)x2+(y-3)2=1
解析:由题意,设圆心(0,t),
则 =1,得t=2,
所以圆的方程为x2+ (y-2)2=1,故选A.
2.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍,则动点P的轨迹方程为( B )
(A)x2+y2=32(B)x2+y2=16
(C)(x-1)2+y2=16(D)x2+(y-1)2=16
解析:设P(x,y),
则由题意可得2 = ,
化简整理得x2+y2=16,故选B.
3.(2012年高考陕西卷)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( A )
(A)l与C相交(B)l与C相切
(C)l与C相离(D)以上三个选项均有可能
解析:x2+y2-4x=0是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,而点P(3,0)到圆心的距离为d= =1<2,
点P(3,0)恒在圆内,过点P(3,0) 不管怎么样画直线,都与圆相交.故选A.
4.(2012年高考辽宁卷)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( C )
(A)x+y-1=0(B)x+y+3=0
(C)x-y+1=0(D)x-y+3=0
解析:由题知圆心在直线上,因为圆心是(1,2),
所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C符合,故 选C.
5.(2013年高考广东卷)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( A )
(A)x+y- =0(B)x+y+1=0
(C)x+y-1=0(D)x+y+ =0
解析:与直线y=x+1垂直的直线方程可设为x+y+b=0,由x+y+b=0与圆x2+y2=1相切,可得 =1,故b=± .因为直线与圆相切于第一象限,故结合图形分析知b=- ,则直线方程为x+y- =0.故选A.
6.(2012年高考福建卷)直线x+ y-2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长度等于( B )
(A)2 (B)2 (C) (D)1
解析:因 为圆心到直线x+ y-2=0的距离d= =1,半径r=2,
所以弦长|AB|=2 =2 .
故选B.
7.两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则 + 的最小值为( C )
(A) (B) (C)1(D)3
解析:将圆的方程化为标准方程,
得(x+a)2+y2=4和x2+(y-2b)2=1.
两圆有三条公切线,
即两圆相外切,
所以圆心距等于半径长之和,
故a2+4b2=9, (a2+4b2)=1,
所以 + = (a2+4b2)•
= ≥1.
当且仅当a2=2b2时,等号成立,
即 + 的最小值为1.
故选C.
二、填空题
8.(2013年高考浙江卷)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于 .
解析:圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25,
故圆心为(3,4),半径r=5.
又直线方程为2x-y+3=0,
∴圆心到直线的距离 为d= = ,
∴弦长为2× =2 =4 .
答案:4
9.已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到 l的距离的最小值为 .
解析:因为圆C的圆心(1,1)到直线l的距离为
d= =2 ,
又圆半径r= .
所以圆C上各点到直线l的距离的最小值为d-r= .
答案:
10.已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,半径为1且与直线4x-3y=0相切,则圆C的标准方程是 .
解析:∵圆C的圆心在直线3x-y=0上,
∴设圆心C(m,3m).
又圆C的半径为1,且与4x-3y=0相切,
∴ =1,
∴m=±1,
∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1.
答案:(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1
11.(2012年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .
解析:可转化为圆C的圆心到直线y=kx-2的距离不大于2.
圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,
即 ≤2.
整理,得3k2-4k≤0,
解得0≤k≤ .
故k的最大值为 .
答案:
12.(2013年高考湖北卷)已知圆O:x2+y2=5,直线l:xcos θ+ysin θ=1 0<θ< ,设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k,则k= .
解析:∵圆心(0,0 )到直线的距离为1,
又∵圆O的半径为 ,
故圆上有4个点符合条件.
答案:4
13.圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l:x+y-3=0对称的圆的方程为 .
解析:已知圆的圆心为(2,3),半径为1.
则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l对称,由数形结合得,对称圆的圆心为(0,1),半径为1,故方程为x2+(y-1)2=1.
答案:x2+(y-1)2=1
三、解答题
14.已知圆C:x2+(y-2)2=5,直线l:mx-y+1=0.
(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)若圆C与直线相交于点A和点B,求弦AB的中点M的轨迹方程.
(1)证明:法一 直线方程与圆的方程联立,消去y得(m2+1)x2-2mx-4=0,
∵Δ=4m2+16(m2+1)=20m2+16>0,
∴对m∈R,直线l与圆C总 有两个不同交点.
法二 直线l:mx-y+1恒过定点(0,1),且点(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5内部,
∴对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点.
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
由方程(m2+1)x2-2mx-4=0,
得x1+x2= ,
∴x= .
当x=0时m=0,点M(0,1),
当x≠0时,由mx-y+1=0,得m= ,
代入x= ,得x 2+1 = ,
化简得x2+ y- 2= .
经验证(0,1)也符合,
∴弦AB的中点M的轨迹方程为x2+ y- 2= .
15.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相 交于A、B两点,且|AB|=2 时,求直线l的方程.
解:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.
(1)若直线l与圆C 相切,
则有 =2.解得a=- .
(2)过圆心C作CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,
得 解得a=-7,或a=-1.
故所求直线方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.
16.(2013年高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线 y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解:(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在,设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意,得 =1,
解得k=0或- .
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)∵圆心在直线y=2x-4上,
∴圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),∴MA=2MO,
∴ =2 ,
化简得x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4,
∴点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
由题意,点M(x,y)在圆C上,
∴圆C与圆D有公共点,
则|2-1|≤CD≤2+1.
即1≤ ≤3.
整理得-8≤5a2-12a≤0.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤ .
∴点C的横坐 标a的取值范围为 0, .