第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
[对应学生用书P7]
【梳理自测】
一、简单的逻辑联结词
若p是真命题，q是假命题，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C． 是真命题 D． 是真命题
答案：D
◆此题主要考查了以下内容：
(1)命题中做逻辑联结词的或、且、非．
(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断
pqp且qp或q非p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
二、全称量词和存在量词
1．全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示．
存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
2．含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
3．含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
三、含有一个量词的命题的否定
1．(2012•高考湖北卷)命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是( )
A．∃x0∉∁RQ，x30∈Q B．∃x0∈∁RQ，x30∉Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
2．下列命题中，真命题是( )
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
3．(2012•高考辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则 是( )
A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0
答案：1.D 2.A 3.C
◆以上题目主要考查了以下内容：
命题命题的否定
∀x∈M，p(x)∃x0∈M， (x0)
∃x0∈M，p(x0)∀x∈M， (x)
【指点迷津】
1．逻辑联结词“或”的含义有三种
逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词“或”时，要注意分析三种情况．
2．判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，可利用真值表转化为一些简单命题的真假判断．可以简记为：
p∧q“见假就假”，p∨q“见真就真”， 与p“真假相对”．
3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
[对应学生用书P7]
考向一 含有逻辑联结词命题的真假判定
(2014•长春市高三调研)给定命题p：函数y＝sin(2x＋π4)和函数y＝cos(2x－3π4)的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝2(sin 2x＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确的是( )
A．p∨q是假命题 B． ∨q是假命题
C．p∧q是真命题 D． ∨q是真命题
【审题视点】 分别判定p与q的真假．再判定复合命题的真假．
【典例精讲】 命题p中y＝cos(2x－3π4)＝cos(2x－π4－π2)＝cos[π2－(2x－π4)]＝sin(2x－π4)与y＝sin(2x＋π4)关于原点对称，故p为真命题；命题q中y＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin(2x＋π4)取极小值时，2x＋π4＝2kπ－π2，则x＝kπ－3π8，k∈Z，故q为假命题，则 ∧q为假命题，故选B.
【答案】 B
【类题通法】 1.“p∧q”“p∨q”“ ”形式命题的真假判断步骤
(1)准确判断简单命题p、q的真假；
(2)判断“p∧q”“p∨q”“ ”命题的真假．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
(3) ：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
1．(2014•山东高考原创卷)已知命题p：存在实数x，使sin x＝π2成立；命题q：x2－3x＋2＜0的解集为(1，2)．给出下列四个结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧ ”是假命题；③命题“ ∧q”是真命题；④命题“ ∨ ”是假命题．其中正确的结论是( )
A．②③ B．②④
C．①②④ D．①②③④
解析：选A.由|sin x|≤1得命题p是假命题，则 是真命题；由一元二次不等式的解法得命题q是真命题，则 是假命题．根据复合命题间的关系知②③正确，故选A.
考向二 全称命题、特称命题真假判断
(2014•湖南省五市十校联考)下列命题中是假命题的是( )
A．∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)•xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．∀a＞0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点
【审题视点】 首先明确是全称命题还是特称命题，其次对假命题要找出反例．
【典例精讲】 对于A，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B，当φ＝π2时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos 2x为偶函数；对于C，当m＝2时，f(x)＝(m－1)•xm2－4m＋3＝x－1＝1x，满足条件；对于D，令ln x＝t，∀a＞0，对于方程t2＋t－a＝0，Δ＝1－4(－a)＞0，恒有解，故满足条件．综上可知，选B.
【答案】 B
【类题通法】 (1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
(3)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
2．(2014•泰安二模)下列命题中的真命题是( )
A．∃x∈R，sin x＋cos x＝32
B．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x
C．∃x∈(－∞，0)，2x＜3x
D．∀x∈(0，＋∞)，ex＞x＋1
解析：选D.sin x＋cos x≤2＜32，A错；x∈0，π4，
sin x＜cos x，B错；x∈(－∞，0)，2x＞3x，C错．