等比数列及其前n项和复习练习（有解析2015高考数学一轮）

等比数列及其前n项和复习练习（有解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．(2013•课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：因为a1＝1，公比q＝23，所以an＝23n－1，Sn＝a11－qn1－q＝31－23n＝3－223n－1＝3－2an，故选D.
答案：D
2．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于
(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1
C．(－2)n D．－(－2)n
解析：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.
∵a5＝－8a2＝a2•q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1•(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1•(－2)n－1＝(－2)n－1.
答案：A
3．(2013•全国大纲)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43.则{an}的前10项和等于
(　　)
A．－6(1－3－10) B.19(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：由3an＋1＋an＝0得a1＝－3a2＝4.
an＋1an＝－13
∴S10＝41－－13101＋13＝31－3－10.
答案：C
4．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于
(　　)
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：由已知得数列{an}的前三项分别为2,2q,2q2.又(2q＋1)2＝3(2q2＋1)，整理得2q2－4q＋2＝0，解得q＝1，Sn＝2n.
答案：C
5．(2013•辽宁)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，
∴a3＞a1，∴a3＝4，a1＝1.
又∵a3＝a1q2＝4，∴q2＝4.
又∵{an}是递增数列且a1＝1＞0，
∴q＞0，∴q＝2.
∴S6＝a11－q61－q＝1×1－261－2＝63.
答案：63
6．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
解析：由已知条件得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即an＋2an＋1＝－2.
答案：－2
7．(2013•全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则数列{an}的通项公式是an＝________.
解析：由Sn＝23an＋13得a1＝1，且当n≥2时，an＝－2an－1
∴数列{an}的公比为－2，首项为1的等比数列．
故an＝(－2)n－1
答案：(－2)n－1
8．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由已知得a1＋d＝2a1＋4d＝8.∴a1＝0，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，
∵a4＝6，∴q＝2或q＝－3.
∵等比数列{bn} 的各项均为正数，∴q＝2.
∴{bn}的前n项和Tn＝b11－qn1－q＝1×1－2n1－2＝2n－1.
9．(2014•河北省质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝32an－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在数列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝32a1－1，所以a1＝2.
当n≥2时，由Sn＝32an－1，①
得Sn－1＝32an－1－1，②
①－②，得an＝32an－1－32an－1－1，所以an＝3an－1，又a1≠0，故an－1≠0，
所以anan－1＝3，
故数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an＝2•3n－1.
(2)由(1)知bn＋1＝bn＋2•3n－1，
当n≥2时，bn＝bn－1＋2•3n－2，
……
b3＝b2＋2•31，
b2＝b1＋2•30，
以上各式相加并整理，得bn＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n－11－3＝3n－1＋4.
当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1.
所以bn＝3n－1＋4.
B组　能力突破
1．(2014•郑州二次质量预测)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是
(　　)
A．－3 B.3
C．±3 D．±3
解析：依题意得，a4＋a8＝4，a4a8＝3，a4＞0，a8＞0，因此a6＞0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6＝a4a8＝3，选B.
答案：B
2．(2014•山西省四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a8＋a9a6＋a7等于
(　　)
A．1＋2 B．1－2
C．3＋22 D．3－22
解析：记等比数列{an}的公比为q，其中q＞0，由题意知a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q.因为a1≠0，所以有q2－2q－1＝0，由此解得q＝1±2，又q＞0，所以q＝1＋2，所以a8＋a9a6＋a7＝q2a6＋a7a6＋a7＝q2＝(1＋2)2＝3＋22，选C.
答案：C
3．(2013•江苏)在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为________．
解析：由已知得a1＝2－5，q＝2，∴an＝2n－6
a1＋a2＋…＋an＝2n－5－2－5，
a1a2…an＝2nn－112.
由a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an得2n－5－2－5＞2nn－112
由2n－5＞2nn－112得n≤12
而当n＝12时，不等式2n－5－2－5＞2nn－112成立．
∴n的最大值为12.
答案：12
4．已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn＝16(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比数列，求数列{an}的通项公式．
解：因为Sn＝16(an＋1)(an＋2)，①
所以当n＝1时，有S1＝a1＝16(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或a1＝2；
当n≥2时，有Sn－1＝16(an－1＋1)(an－1＋2)．②
①－②并整理，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0(n≥2)．
因为数列{an}的各项均为正数，所以an－an－1＝3(n≥2)．
当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此时a24＝a2a9成立．
当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此时a24＝a2a9不成立．
所以a1＝2舍去，故an＝3n－2.