离散型随机变量的均值与方差复习测试卷（含解析2015届数学一轮）

离散型随机变量的均值与方差复习测试卷（含解析2015届数学一轮）

A组　基础演练
1．(2014•上海虹口模拟)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为
(　　)
ξ4a9
P0.50.1b
A.5　　　　　　　　　B．6
C．7 D．8
解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.
∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.
∴a＝7.
答案：C
2．已知X的分布列为
X－101
P12
13
16

，且Y＝aX＋3，E(Y)＝73，则a的值为
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：先求出E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.
再由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3.
∴73＝a×－13＋3.解得a＝2.
答案：B
3．(2014•甘肃嘉峪关二模)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为
(　　)
A．5 B．5.25
C．5.8 D．4.6
解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得EX＝5.25.
答案：B
4．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．
解析：E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.
答案：0.7
5．(2013•辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
解析：设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4, x5，则由题意知x1＋x2＋x3＋x4＋x55＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必有0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.
答案：10
6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件数，则D(X)＝________.
解析：由题意知取到次品的概率为14，
∴X～B3，14，
∴D(X)＝3×14×1－14＝916.
答案：916
7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
x123
P(ξ＝x)？！？
请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
解析：设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则
E(ξ)＝1•x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.
答案：2
8．为了某大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．
(1)求A能够入选的概率．
(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．
解：(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MNP，MNP，MNP，MNP.
∴P(A)＝P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)＋P(MNP)
＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23.
所以，A能够入选的概率为23.
(2)P(没有入选任何人)＝1－234＝181，
P(入选了一人)＝C1423133＝881，
P(入选了两人)＝C24232132＝2481，
P(入选了三人)＝C3423313＝3281，
P(入选了四人)＝C44234＝1681，
记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为
ξ03 0006 0009 00012 000
P181
881
2481
3281
1681

E(ξ)＝3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×1681＝8 000(元)
所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．
9．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．
解：(1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C24•22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为C24•2234＝827.
法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．
记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝13.
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
P4(2)＝C24132232＝827.
(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝334＝127，
P(ξ＝2)＝C23C12C34＋C24C2234＝1427
或Pξ＝2＝C2324－234＝1427，
P(ξ＝3)＝C13C24C1234＝49或Pξ＝3＝C24A3334＝49.
综上知，ξ的分布列为
ξ123
P127
1427
49

从而有E(ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.
B组　能力突破
1．(2013•安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)
A．这种抽样方法是一种分层抽样
B．这种抽样方法是一种系统抽样
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析：A、B不正确，无法确定采用的是哪种抽样方法．
男生的平均成绩为90，女生的平均成绩为91，
但这只能反映这五名男生和五名女生的情况，不能准确反映全班的成绩．又男生成绩的方差为8，大于女生成绩的方差6，故C正确．
答案：C
2．(2014•安徽芜湖一模)若X～B(n，p)，且EX＝6，DX＝3，则P(X＝1)的值为
(　　)
A．3•2－2 B．2－4
C．3•2－10 D．2－8
解析：EX＝np＝6，DX＝np(1－p)＝3，∴p＝12，n＝12，则P(X＝1)＝C112•12•1211＝3•2－10.
答案：C
3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.
解析：X的取值为0,1,2,3，则
P(X＝0)＝C312C316＝1128；P(X＝1)＝C212C14C316＝3370；
P(X＝2)＝C112C24C316＝970；P(X＝3)＝C34C316＝1140，
∴E(X)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.
答案：34
4．(2013•天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A)＝C12C35＋C22C25C47＝67.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，
P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.
所以随机变量X的分布列是
X1234
P135
435
27
47

随机变量X的数学期望EX＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝175.