第9课时 直角坐标系、函数
【复习目标】
1．理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标．
2．在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置．
3．结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的 实例，能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
4．能确定简单整式、分式、二次根式和简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值．
5．能用适当的函数表示法刻画简单实 际问题中变量之间的关系，结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
【知识梳理】
1．平面直角坐标系：
(1)有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(_______，_______)．
(2)在平面内画两条互相_______、_______重合的数轴，组成了平面直角坐标系；坐标平面内的点与________一一对应．
2．坐标平面内点的坐标特征：
(1)各象限内点的坐标的符号特征：若点P（x，y）在第一象限，则_______；若点P(x，y)在第二象限，则_______；若点P(x，y)在第三象限，则_______；若点P(x，y)在第四象限，则_______
(2)若点P(x，y)在x轴上，即满足纵坐标为0，则点P( _______，_______)；若点P（x，y）在y轴上，即满足横坐标为0，则点P(_______，_______)．
(3)在第一、三象限角平分线上的点的横坐标与 纵坐标_______；第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标_______．
3．对称点的坐标特征：
点P(x，y)关于x轴的对称点是P1（_______，_______）；关于y轴的对称点是P2(_______，_______)；关于原点的对称点是P3(_______，_______)．
4．坐标平面内的距离：点P(x，y)到x轴的距离是_______；到y轴的距离是_______；到原点的距离是_______．
5．在平面直角坐标系中，图形平移 引起的点的坐标变化规律如下：若点P(a，b)向左平移m(m>0)个单位，则横坐标_______、纵坐标_______；若向右平移m(m>0)个单位，则横 坐标_______、纵坐标_______；若点P(a，b)向上平移n（n>0）个单位，则横坐标_______、纵坐标_______；若向下平移n（n>0）个单位，则横坐标_______、纵坐标_______．
6．在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有_______与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
7．函数的三种表示方法分别 是_______、_______、_______．
8．画函数图象的步骤：_______、_______、_______（注意在自变量的取值范围内）．
9．自变量取值范围的确定方法：
求函数自变量的取值范围，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．
(1)自变量以整式形式出现时，它的取值范围是________．
(2)自变量以分式形式出现时，则取值范围是使分式的分母_______的实数．
(3)自变量以偶次方根的形式出现时，它的取值范围是使被开方数为_______数 ；以奇次方根出现时，它的取值范围为_______．
(4)当函数解析式表示具有实际意义或几何意义的函数时，自变量的取值范围必须保证实际问题有意义．
10．对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值 ，这个对应值叫做x＝a的_______值．
【考点例析】
考点一 坐标平面内点的坐标特征
例1点A（-1，4）在第_____象限，B（-1，-4）在第______象限；点C（1，-4）在第__ __象限，D（1，4）在第____象限；点E（- 2，0）在____轴上，点F（0，-2）在____轴上.
提示 根据平面直角坐标系各个象限内点的坐标的符号特征解题．
考点二 对称点的坐标特征
例2 点P（－2，－4）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ，到原点的距离是 .
(2) （2014•呼和浩特，第3题3分）已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（?1，4）的对应点为C（4，7），则点B（?4，?1）的对应点D的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（2，9）C．（5，3） D． （?9，?4）
(3) .若点P（x，y）在第四象限，|x|=2，|y|=3，则P点的坐标为 . 提示 根据对称 点的坐标特征解题．
考点三 图形的平移和坐标变化
例3（2014•济 宁，第9题3分）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（ ）
A．（?a，?b）B．（?a，?b?1）C．（?a，?b+1）D．（?a，?b+2）
考点：坐标与 图形变化－旋转．
分析：设点A′的坐标是（x，y），根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
解答：解：根据题 意，点A、A′关于点C对称，
设点A′的坐标是（x，y），
则 =0， =1，
解得x=?a，y=?b+2，
∴点A的坐标是（?a，?b+2）．
故选：D．
点评：本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的 关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
考点四 函数自变量的取值范围
例4(2014山东日照)当k＞ 时，直线kx?y=k与直线ky+x=2k的交点在（ ）
A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】一次函数与二元一次方程组的关系．
【解析】解方程组 得，两直线的交点坐标为 ，
因为k＞ ，
所以 ，
所以交点在第一象限．
【答案】A．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握求两直线的交点的方法，以及各个象限内的点的坐标的特征是解决此题的关键．
考点五 函数图象信息题
例5.(2014 山东烟台)如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【解析】点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大，且y与x呈一次函数关系；
点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；
点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小且y与x呈一次函数关系．
【答案】A．
【点评 】本题将在运动过 程中形成的解析式与函数图象有机结合在一起，彰显了数形结合、分类讨论与函数建模思想的灵活运用.解决此题的关键是分别确定点P在每一段上运动的y与x的函数关系，进而确定其对应图象
例6(2014山东济南) 如图，直线 与 轴， 轴分别交于 两点，
把 沿着直线 翻折后得到 ，则点 的坐标是
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的应用；翻折问题；等边三角形的性质.
【解析】连接 ，作 D⊥x轴于点D.
把x=0代入直线 ，求得y=2，所以OB=2,
把 y=0代入直线 ，求得x= ，所以OA= ,
所以tan∠BAO=
所以 ，
有翻折的性质可知∠BA = ，OA= A，
所以 ，
所以 是等边三角形，
因为 D⊥OA
所以OD= ,
所以D点坐标为（ ，3）.
【答案】A.
【点评】本题考查了翻折问题与一次函数的综合，根据翻折的性 质求出 是等边三角形是解决此题的关键.
【反馈练习】
1．在直角坐标系中，描出下列各点的位置：A (4，1)，B(-1，4)，C(-4，-2)，D(3，-2)，E( 0, 1 )，
F( -4, 0 )，G（0， ） .
归纳：各象限点的坐标的特点是：
⑴点P（x,y）在第一象限，则x 0，y 0.
⑵点P（x,y）在第二象限，则x 0，y 0.
⑶点P（x,y）在第三象限，则x 0，y 0 .
⑷点P（x,y）在第四象限，则x 0，y 0.
（5）点P（x,y）在x轴上，则x 0，y 0.
（6）点P（x,y）在y轴上，则x 0，y 0.
2．(2014山东威海)一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是 ．
3．函数 中自变量x的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．面积是S（cm2）的正方形地板砖边长为a(cm)，则S与a的关系式是_______，其中自变量a的取值范围是__________
5．（2012．扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m－2）在第一象限内，则m的取值范围是_______．
6．.(2014山东烟台)如图，已知函 数y=2x+b与函数y=kx?3的图象交于点P，则不 等式kx?3＞2x+b的解集是 ．
7．(2014山东烟台)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种 品牌相继投放市场，某车行经营的 A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车 获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车B型车
进货价格（元）11001400
销售价格（元）2000