第35课 图形的变换
（一）
【知识梳理】
1、轴对称及轴对称图形的联系：轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别：轴对称是指两个图形之间的位置关系，而轴对称图形一个图形自身的性质；轴对称只有一条对称轴，轴对称图形可能有几条对称轴．
2、通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．
4、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质．
5、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．
【思想方法】抓住变与不变的量
【例题精讲】
1、观察下列一组图形，根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状？
2、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
3、如图，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于
AO、BO的对称点，MN分别交OA、OB于E、F. ⑴ 若
△PEF的周长是20cm，求MN的长. ⑵若∠AOB=30°试判断△MNO的形状，并说明理由
4、将一张矩形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可得到 条折痕．如果对折n次，可以得到 条折痕．
5、做一做:用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.
6、已知如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60º，∠ ABC=90º，等边三角形MNP（N为不动点）的边长为a cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8 cm ,将直角梯形ABCD向左翻折180º，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．(1)、将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形MNP的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？(2)、将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形MNP的边长a至少应为多少？(3)、将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形MNP的边长a应为多少？
【当堂检测】
1．下列图形是否是轴对称图形，找出轴对称图形的有几条对称轴．
2．小明的运动衣号在镜子中的像是 ，则小明的运动衣号码是 ( )
A. B. C. D
3．在角、线段、等边三角形、平行四边形形中，轴对称图形有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其它三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形 ；理由是 ：
5．如图，ΔABC中，DE是边AC的垂直平分线AC=6cm，
ΔABD的周长为13cm，则ΔABC的周长为______cm.
6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点 的位置，则 与BC之间的数量关系是 ．
（二）
【知识梳理】
一、图形的平移
1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
二、图形的旋转
1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；
2.中心对称图形:____________________________________
3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；
【思想方法】 数形结合
【例题精讲】
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，把这个三角形在平面内
绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是 cm．
2.将两块含30°角且大小相同的直角三角板如图1摆放．(1) 将图2中△ 绕点C顺时针旋转45°得图2，点 与AB的交点，求证： ；(2)将图2中△ 绕点C顺时针旋转30°到△ （如图3），点 与AB的交点．线段 之间存在一个确定的等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3中线段 绕点C 顺时针旋转60°到 （图4），连结 ，求证： ⊥AB.
3．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.(1)在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；(2)连接HK，在上述旋转过程中，设BH= ，△GKH的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由.
4．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图1） （图2） （图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH?DH
（图4） （图5） （图6）
【当堂检测】
1．下列说法正确的是（ ）
A．旋转后的图形的位置一定改变 B．旋转后的图形的位置一定不变
C．旋转后的图形的位置可能不变 D．旋转后的图形的位置和形状都发生变化
2．下列关于旋转和平移的说法错误的是（ ）
A．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离
B．旋转和平移都只能改变图形的位置
C．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化
D．旋转和平移的定义是相同的
3．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_____，在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转不超过180后能与原图形重合的是____．
4．△ABC是等腰直角三角形，如图，A B=A C，∠BA C＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为（ ）
A．90° B．120° C．60° D．45°
5．以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、
菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．3个
6．如图的图案中，可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（ ）
7.有以下现象：①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．②④
8．如图，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△ ，则A点的对应点A′的坐标是（ ） A．（－3，－2）B．（2，2） C．（3，0）D．（2，1）