探索三角形相似的条件
??????探索性问题
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一、例题分析：
1、如图，已知∠ABC=∠CDB=90°,AC=a，BC=b，当BD= 时，△ABC与△CDB相似；
2、如图，在△ABC中，AB=24,AC=18,D是AC上一点，AD=12;在AB上取一点E，使得△ADE与△ABC相似，则AE的长为 ；
3、如图，在△ABC中，若点P是AB边上一点，过点P作直线不与直线AB重合，截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的三角形最多有 条；
4、如图，在△ABC中，∠C=90°,BC=8cm，AC∶AB=3∶5,点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2cm的速度移动；点Q从点C出发，沿CA向点A以每秒1cm的速度移动;
(1)经过多少秒时，△CPQ∽△CBA?
(2)经过多少秒时，△CPQ与△CBA相似？
5、（启东作业本68第14题）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC．（AB＞AE）
（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设 ，是否存在这样的 值，使△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出 的值；若不存在，说明理由．
6、（I）如图点P在□ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA、BC的延长线于点Q、S，交AD、CD于点R、T．说明：PQ•PR=PS•PT；
（II）如图（1），图（2），当点P在□ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出说明；若不成立，试说明理由[要求仅以图（1）为例进行说明]；
（III）如图（3），ABCD为正方形，A、E、F、G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（I）所得结论为依据，求线段FG的长度．
7、等腰三角形ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点．小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图（a），说明：当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图（b）的情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE∽△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连接EF，△BPE∽△PFE是否相似？请说明理由；
三、课后作业：
1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=7，在AD上是否存在点P，使△PCD与△PAB相似？若存在，求出DP的值；若不存在，请说明理由。
2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6 cm，点P从点A出发，沿AB向点B以每秒2cm的速度移动；点Q从点D出发，沿DA向点A以每秒1cm的速度移动，经过多少秒时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3 cm，BC=7 cm，∠B=60°，P为下底BC上一点，（不与B、C重合）连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B。
（1）说明：△ABP∽△PCE.
（2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE∶EC=5∶3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。
4、已知：如图（1），在□ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．
（1）试说明△PON与△QOM全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图（2）所示的位置，画出图形，说明你的猜想；
（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB＝ ，PN＝ ，MQ＝ ，则 与 之间的函数关系式为____________．
5、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.
在图甲中，说明：PC=PD；
在图乙中，点G是CD与OP的交点，说明△POD∽△PDG.
将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.