摘要：一次特殊的数学教学结果显示，一个5岁左右、智力一般的儿童能在约半小时内学会被减数是负数的整数减法。这意味着现有中小学数学教材的编排体系值得质疑；这也意味着儿童的创造力和潜能远没有被我们所发掘；这还意味着我们引导儿童学习的方法可能存在许多不当。为求证这些，我们还需要在实践的基础上做进一步的探讨和研究。
学生学习计算“-1-2”必须等到初中一年级才可以吗？儿童刚接触减法就能学习被减数为负整数的一位数的减法吗？一个5岁左右，智力一般的学龄前儿童能在半小时之内学会被减数为负整数的一位数减法吗？为了回答这些问题，我们首先来看一个笔者所经历的特殊数学教学案例。
1、案例
2005年2月25日上午，我正坐在床上看书，我的女儿跑来缠着要做加法。此时，她才5岁零3个月，在上幼儿园学前班；数学口算会10以内的整数加法，勉强会20以内的整数加法，基本不会减法；此前不久，经北京东方儿童教育研究所测试显示，其智力发展处于中等水平。
实在被缠得没有办法，我就应付地问到“1+1等于几？”她答“2”。再问“2+2等于几？”她答“4”。又问“4+4等于几？”答“8”。最后问“8+8等于几？”由于数字过大，她答不上来，我只好告诉她结果。
本来我是想让她不要再问了，可是她又提出做减法的要求(大概是由于在约1个月前的智力测试时，两个减法题均未答出的缘故，使她想学减法)。于是我就开始尝试着教她减法。
第一段，引出减法概念。我问：“5-2等于几？”她好象不太明白什么是减。我就说：“潘?最喜欢吃苹果了，妈妈买来5个苹果，??一口气就吃了2个。现在还剩几个？”她说：“3个。”我说：“对了，5-2就是5个苹果吃掉2个苹果。5个苹果吃掉2个还剩3个苹果，说明5-2等于几呢？”她答“3”，同时她用期待的目光望者我，希望得到我的肯定。可能在我给她肯定和表扬后，她才明白原来这就是减法。接着我改变数字又问了两个吃苹果的减法问题，她都能一一回答正确。我给她一番夸奖之后，使教学进入了下一阶段。
第二段，把问题变成被减数是10的买苹果的问题。我问：“由于爸爸的粗心，昨天买来10个苹果，里面有2个坏的，你说还有几个是好的呢？”她在心理默默地数了数后答到：“8个。”我又问：“第二次是妈妈晚上去买的苹果。由于看不清楚，买回10个苹果中就有3个是坏的，那――还有几个是好的呢？”她思考几秒钟后答到：“7个。”我再问：“第三次是奶奶晚上去买的水果，她更是看不清楚，结果买的10个中就有5个是坏的。你说还有几个是好的？”她答：“5个”。看来她对减法的涵义已经掌握，于是我又是一番夸赞之后，使教学转入了第三段。
第三段，脱离实物的纯数字的减法运算。我以递减的方式依次问5-3等于几、5-2等于几、5-1等于几、5-0等于几。前三问她都能借助于吃苹果进行思考(我听到她在思考第一问时小声地说了声“吃苹果”)，并一一说出正确答案。见她答不出第四问，我就解释到：“减零表示吃掉零个，吃掉零个表示一个都不吃。”然后问：“5个苹果一个都没有被吃掉，还剩几个？”她答：“5个。”我重新问：“5-0等于几？”她答：“5。”接着我又问6-0等于几、10-0等于几、100-0等于几，她都能回答正确。为了引入差为零的减法，我就以递增的方式依次问5-3等于几、5-4等于几、5-5等于几。前两问她能迅速地说出答案，对第三问她迟疑了一下之后，也小声地说出了是零(她在这之前已经有零的概念)。我给予肯定之后，又依次问6-6等于几、10-10等于几、100-100等于几、103-103等于几、1万减1万等于几、0-0等于几。她都能迅速回答(回答这些问题之前，好象没有怎么思考，可能采用的是类推的思维方式)。我在给她一番表扬后，又提出了下面的问题。
第四段，差为负整数的减法。我依次问2-1等于几、2-2等于几、2-3等于几。第三问她回答不了，我就启发到：“有2个苹果，??想要吃3个，还差几个？”她说：“差1个。”我说：“对了，差1个就是-1，差2个就是-2。”她接着插嘴说“差3个就是-3。”我说：“对。所以2-3=-1。再来，2-4等于几？现在有2个苹果，??要想吃4个，还差几个？”“差2个。”“那么2-4等于几？”答：“等于负2。”我又问“1-4等于几”，她回答“等于负3”。此时我感到十分惊喜，差为负整数的减法她也会了。这在成年人看来好象有点不可思议，一个刚学减法的学龄前儿童居然这么容易就学会了初中一年级学生才学习的内容。我重重地夸赞一番之后，又依次问1-1、1-2、1-3、2-5等于几，她都能一一回答正确。看来她真正学会了差为负整数的减法，于是我就试着将教学转入下面的内容。
第五段，被减数是负整数的减法。我问“0-1等于几”后，见她有点迟疑，就启发到：“你想啊，本来没有苹果，想吃1个，差几个呢？”答：“差1个。”我说：“所以0-1等于-1。”接着我又依次问0-2、0-3、0-4、0-100等于多少，这下她都能一一回答正确(可能她又是用的类推的方法，从而得出经验并记住了这一经验：零减去几就等于负几，并且感悟到0下面是-1，-1下面是-2，以后依次是-3，-4，…)。为了巩固这一成果，我又依次问5+0、0+5、5-0、0-5等于几，她都能回答正确。这说明被减数为零的减法她已经掌握。然后我又用递减法依次问2-1、1-1、0-1、-1-1等于几。前三问她能很快说出答案；第四问我给她解释到：“-1表示已经差一个苹果了，再减一就是还要差一个，这样就差几个了？”答：“差两个。”“所以-1再减1就等于-2。那么-1再减2呢？”她答“等于-3。”我给予肯定之后，又依次问-1-3、-2-2、-2-4等于几，这些她都回答正确了。这真使我喜出望外。居然被减数为负数的一位整数的减法她也学会了！
第六段，加法与减法同时进行。为了巩固前面的学习成果，我提出了以下几组问题。第一组是对偶问题“2+3、3+2、3-2、2-3分别等于几”；第二组也是对偶问题“10+0、0+10、10-0、0-10分别等于几”；第三组是顶针问题“5-2、3-2、1-2、-1-2分别等于几”。她对这三组问题都能一一回答正确，这说明被减数为零或者负数的一位整数的减法她已经掌握了。接下来我就开始扩大战果。
第七段，多位整数的加减法。第一组是顶针对称问题，分别问10+10，20+20，40+40，80+80等于多少。在提示10+10等于20后，她就能类推出“20+20=40，40+40=80，80+80等于16十”，但其中的“16十”应纠正为“1百6十”。第二组为任意整十、整百或整千的加法，分别问10+30，50+20，1百+4百，4千+3千等于多少。她都能通过类推说出答案，或者将十、百、千作为整体单位进行计算(如四千加三千就相当于四个苹果加三个苹果)。第三组为整十数与一位整数的加法，分别问10+3，10+9，20+8，50+2，3+10，5+30，7+90等于多少。前4问她都能通过类推说出答案，第5问有点困难，但提示纠正后，接下来的两问都能回答正确。第四组为整十与整百相加，分别问100+10，100+20，100+50，200+30，400+70，2000+300，20+400，40+700。得到第一问的提示后，她对前6问都能类推出结果，但是后2问类推的结果“24百和47百”应纠正为“420和740”。第五组为整十与整十或整百与整百相减，分别问50-30，30-40，600-400，100-300，-100-200等于多少。她也能由以上经验类推出正确答案。
这太好了，在一般的成年人看来，一个智力中等、仅5岁零3个月大小的儿童，从开始学习减法到能正确说出“-100-200”的答案竟只需要约半小时时间。真是有点不可思议。
第八段，用所学减法知识解决实际问题。首先，我问：“爸爸给??5元钱买牛奶，??买一盒牛奶用了2元。卖牛奶的阿姨该找回几元呢？”由于所给信息较多，数量关系又具有隐含性和复杂性，她思考时不停地问给了几元钱、买了几盒牛奶、牛奶多少钱。通过不断提供数据信息，并逐步启发，她还是用减法得出了正确答案。接着，我进一步问：“爸爸给??5元钱去买牛奶，??买一盒牛奶用了2元，卖牛奶的阿姨补给你2元。阿姨是多给还是少给了？”当她答“少给了”后，我又问少给了多少，这时她也能用减法算出少了1元。最后，我把问题变得更为复杂：“爸爸给??10元钱，??在超市里买一盒牛奶用去2元，买一斤苹果用去3元。问阿姨该补给你几元？”当她回答后，我进一步依次问：“要是阿姨给了你6元，她给对了吗？是多给了还是少给了？多给了多少？”对于5岁多一点的儿童来说，尽管要回答这一连串问题显得有点困难，但是通过这样的训练，却能使之在潜意识里体会到加法与减法的真正涵义，从而提高其运用知识解决实际问题的潜意识和潜能力。这才是数学教育的真谛。
2、启示
事后，笔者感到以上案例具有一定的研究价值，于是对它进行了详细的整理与反思。现将反思所得几点启示罗列如下，希望它能引起数学教育同仁的共同研讨，并从中挖掘出更有价值的东西。
(1)现有中小学数学教材编排体系值得质疑。现有教材的编排体系是否合理，即教材中的数学知识应以什么次序编排、以什么形式组合、以什么方式呈现，我们对这些问题的认识或许还带有相当程度的盲目性。本案例中，笔者并不是按照小学数学教材的知识体系进行加减法教学，而是以十以内甚至五以内的整数加减法为知识的固着点和生长点，牵带出包括“整十整百的加减法”、“被减数是负整数的减法”和“被减数是负整百的减法”等知识在内的一连串知识的。恐怕这是世界上任何一个国家的小学数学教材中都没有的现象。既然这些知识可以如此整合，那么教材中还有没有其他知识应该并且可以重新整合呢？若有，又有那些需要整合，又该怎样整合呢？这些都是需要和值得我们深入研究和探讨的。
(2)引导方法得当可使较难知识变得容易。像本案例中“-100-200=？”这一问题，在一般人看来，应该是学完小学数学知识的初中一年级学生才能学习的，然而，由于引导方法得当，一位普通的学龄前儿童在约半小时内，也是可以学会解决的。在此教学过程中，一方面，笔者采用了吃苹果、买苹果、买牛奶等这些儿童最贴近的实例作为教育情景进行减法教学。这有利于激发儿童的兴趣，有利于刺激儿童积极思维。另一方面，笔者在提问时，常采用顶针、对偶、对称和排比等手法，使问题一个扣一个地步步攀升，也使儿童感到学起来饶有兴趣。第三，本案例采用小步推进、小数字计算的教学策略，使儿童即使在计算“-100-200=？”这一看似高难度的问题时，也不感到困难。因此，方法得当能使困难问题变得简单；方法失当则会使简单问题变得困难。
(3)人们普遍认为“授之以鱼不如授之以渔”，但笔者认为“授之以渔又不如授之以欲”。本案例最成功之处并不在于使儿童学会了被减数为负数的整数减法这一对儿童而言看似高深的知识，也不在于教学方法运用有多么的巧妙，而是在于引导者不断地激起了儿童的学习欲望和学习数学的快乐感。教学中，每当儿童获得小小成功时，引导者都会予以表扬和夸赞。整个过程中，引导者都在不停地说“很好、不错、真棒、真聪明，……”。当听到“好能干罗，减法都会了”的夸奖后，她就产生了还要做减法的欲望；当听到“真聪明，连初中的题都会做了”的表扬时，她就要求还要做大学的题；当她将更难的“大学”的题做出来，并听到表扬“哎呀，真是不得了，大学的题也会了”时，她又提出要求做更难的题。就这样，一旦将儿童的学习热情调动起来后，你想要她不学都还困难，更不用说还要强迫她学习了。本案例中，儿童的学习热情甚至达到这样的程度：我在实在扭不过她的情况下，就强行哄她走开。哄她不走，又只好出几个题难住她。这时她才慢慢降低继续学习的热情，才很不情愿地走开。但后来，每当她走到我身边玩耍时，都会主动提出要求说“爸爸，又来1+1，又来做减法嘛”。也许在她看来，能做出笔者出的减法题，就是一种成功、满足和快乐。要是我们的数学教育都是这样，使学生以学习数学为满足和快乐，那该有多好啊。
(4)在数学教育中，可能对年龄越小的儿童越是要“重实质轻形式”。本案例中，笔者没有搞一点形式化的东西。儿童连一个符号都没有看到，也没有写出，却也能很快学会初中学生才学习的知识；一点形式都没有，也能达到数学教育的目的，甚至比形式化的教学效果更好，效率更高。一方面，只要抓住了减法的实质，不一定要写出数字，列出算式进行笔算。口算照样可以达到使儿童深刻理解减法涵义和运用减法解决实际问题的目的，甚至有时口算比笔算更有利于数学思维的训练。另一方面，由于在引导儿童的过程中，笔者紧紧抓住减法的实质，进行小跨度和小数字的问题设置，使儿童学起来十分轻松，其知识也在润物细无声中生长起来了。
(5)笔者发现，儿童的许多思维方式并不是我们成年人或者教育者想象的那样；儿童的大脑里潜藏着大量的创造性思维方式。比如，儿童学习加减法时，很多时候似乎并没有按我们成年人那样去推理或计算，并且也不需要给她讲多少道理，她就可以凭经验进行类推。虽然这样的类推有时是错误的，但在其知识十分有限的条件下，这可能是她的思维策略中最佳或者唯一的选择。当类推的结果得到肯定时，她就记住这一经验，并会在以后继续这样类推；否则，她就建立新的正确的经验，然后在新经验基础上又进行类推。如本案例中，当儿童依次回答“10+3=13，20+5=25，70+7=77”后，再问她“3+20=？”时，她就会凭前面回答的经验类推出“3+20等于三二十”的答案。这一错误经验就需要引导者给予纠正，即告诉她不能说成三二十，要把十说在前面，说成二十三。以后她就能在新的正确经验基础上类推出“5+80=85”了。同样，儿童也是由“-1-2=-3”类推出“-100-200=-300”，进而类推出“-200-300=-500”等等的。又比如，在一次加法游戏中，当我念出“a,o---a,o---a,o,a,o”要她回答一共有几个“a”或“o”时，她很快就答出是8个。我以为她是按照“2+2+4=8”得到答案的，但如果是这样计算的话，就不可能那么快说出答案。我问她为何这么快就能说出答案，她说是数出来的。原来她是按照我念的节奏，在心中这样默默数出答案的：“1，2---3，4---5，6，7，8”。这当然比我的加法速度还要快。我真没想到还可以这样“计算”。
由此可见，儿童又有多少与成人不同的思维方式，他们又有多少创造性思维方式没有被我们所发掘。这是不是也在说明“在培养儿童的创造力过程中，只要我们不扼杀儿童的创造力，就谢天谢地了”呢？
(6)事事洞明皆学问，人情练达即文章。一方面，更多更实在的教育研究、教育发现就在我们身边，就在我们每一次的教育教学行动中。我们要善于洞察、发现和捕捉儿童微妙的表情变化和思维火花的闪现。因此，行动研究是了解、研究和窥探儿童心理和发现儿童认知规律的十分有效的途径。另一方面，对在实践中所捕捉和发现到的、原始的、零散而有价值的东西，要及时反思、筛选、梳理和提炼，使之上升为理论，整理成文章。本案例中，笔者通过“1+1”模式的一次行动研究就获得了以上几点收获，这是阅读任何一本书都无法取代的。
由是观之，我们在做数学教育研究时，应该更多地深入实践，更多地深入数学教育教学的“田间地头”。或许那里才是丰富的教育研究宝藏的埋藏地。(重庆邮电学院应用技术学院 潘建辉)