2012-2013学年高一上册数学期末试题(含答案)

福建师大附中
2012―2013学年度上学期期末考试
高一数学试题

(满分:150分,时间:120分钟)
说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.
第1卷 共100分
一、选择题:(每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

1. 下列条件中,能使 的条件是(***** )
A. 平面 内有无数条直线平行于平面 B. 平面 与平面 同平行于一条直线
C. 平面 内有两条直线平行于平面 D. 平面 内有两条相交直线平行于平面
2、直线 的倾斜角与在 轴上的截距分别是(***** )
A. 135°,1 B. 45°,-1 C. 45°,1 D. 135°,-1
3、三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有(***** )
A.1条   B.2条   C.3条   D.1或2条
4、已知直线 , 互相平行,则 的值是(***** )
A. B 1 C. 或 D.
5、设 是两个不同的平面, 是一条直线,以下命题正确的是(***** )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
6、已知点 在直线 上,则 的最小值为(***** )
A.2 B. 3 C. D.5
7、一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA/B/C/的面积为 ,
则原梯形的面积为(***** )
A. 2 B. C.2 D. 4
8、若 为圆 的弦 的中点,则直线 的方程为(****)
A. B.
C. D.
9、长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为(***** )
A. B.56πC.14π D.64π


10、已知圆 : + =1,圆 与圆 关于直线 对称,
则圆 的方程为(***** )
A. + =1 B. + =1
C. + =1 D. + =1
11、点 是圆 内不为圆心的一点,则直线 与该圆的位置关系是(***** )
A.相切 B.相交 C.相离D.相切或相交

12、如图,正方体 的棱长为1,线段 上有两个动点E,F,
且 ,则下列结论中错误的是(***** )
A. , 为异面直线,且
B.
C.三棱锥 的体积为定值
D.

二、填空题:(本大题6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答卷上)
13、过点 的直线的倾斜角等于 ,则 的值是_******_

14、直线 当 变化时,所有直线都通过定点_******_

15、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_******_

16、两平行线 间的距离是_******_

17、集合 ,其中 ,
若 中有且仅有一个元素,则 的值是_******_
18、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③二面角 的度数为 ;
④AB与CD所成的角是60°。
其中正确结论的序号是_******_
三、解答题:(本大题共6题,满分60分)
19.(本小题满分8分)
如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.


20.(本小题满分10分)
如图,在平行四边形 中,点O是原点,点 和点 的坐标分别是 、 ,点 是线段 上的动点。
(1)求 所在直线的一般式方程;
(2)当 在线段 上运动时,求线段 的中点 的轨迹方程.

21.(本小题?分12分)
如图,长方体 中, ,
,点 为 的中点.
(1)求证:直线 ∥平面 ;
(2)求证:平面 平面 ;
(3)求 与平面 所成的角大小.

22、(本小题满分10分)
如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成。已知隧道总宽度AD为 m,行车道总宽度BC为 m,侧墙EA、FD高为2m,弧顶高MN为5m。
(1)建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程;
(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m。请计算车辆通过隧道的限制高度是多少。

23、(本小题?分10分)
如图,四面体ABCD中,O、E分别为BD、BC的中点,
且CA = CB = CD = BD = 2,AB = AD = 。
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求 异面直线AB与CD所成角的余弦值。

24、(本小题满分10分)
已知圆 的圆心为C,直线L: 。
(1)若 ,求直线L被圆C所截得的弦长 的最大值;
(2)若 ,求直线L被圆C所截得的弦长 的最大值;
(3)若直线L是圆心C下方的切线,当 变化时,求实数 的取值范围。

25、附加题.(10分)设 点是圆 上的动点,过点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,切线 分别交 轴于 两点.是否存在点 ,使得线段 被圆 在点 处的切线平分?若存在,求出点 的纵坐标;若不存在,说明理由.

参考答案
第1卷 共100分
一、选择题:DDCAC; BDACA; CD

二、填空题:
13、 ; 14、(3,1) ;15、1; 16、 17、3或7 18、①②④
三、解答题:
19.(本小题满分8分)
解: 由图可知 ;

因为 ,
所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子.
20.(本小题满分10分)

21.(本题?分12分)
(1)证明:设AC和BD交于点O,连PO,
由P,O分别是 ,BD的中点,故PO// ,
∵ 平面 , 平面
所以直线 ∥平面
(2)长方体 中, ,
底面ABCD是正方形,则AC BD
又 面ABCD,则 AC,
∵ 平面 , 平面 ,
∴AC 面
∵ 平面 ∴平面 平面
(3)由(2)已证:AC 面
∴ 在平面 内的射影为OP
∴ 是 与平面 所成的角,依题意得 , ,
在Rt△CPO中, ,∴ = ∴ 与平面 所成的角为
22. (本小题满分10分)

23、(本小题?分10分)(1)证明: ㄓABD中
∵AB = AD = ,O是BD中点,BD = 2
∴ AO ⊥ BD 且 = 1
ㄓBCD中,连结OC ∵ BC = DC = 2
∴ CO ⊥ BD 且
ㄓAOC中 AO = 1,CO = ,AC = 2
∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 故 AO ⊥ CO
∴ AO ⊥平面BCD
(2)取AC中点F,连结OF、OE、EF
ㄓABC中 E、F分别为BC、AC中点
∴ EF∥AB,且
ㄓBCD中 O、E分别为BD、BC中点
∴ OE∥CD 且
∴ 异面直线AB与C D所成角等于∠OEF(或其补角)
又OF是RtㄓAOC斜边上的中线 ∴
∴ 等腰ㄓOEF中
24、(本小题满分10分)解:圆C的方程可化为(x-a)2+(y-3a)2=4a
∴圆心为C(a,3a),半径为r=2
(1)若a=2,则c(2,6),r= ,
∵弦AB过圆心时最长,∴ max=4

(2)若m=2,则圆心C(a,3a)到直线x-y+2=0的距离
d= ,r=2
直线与圆相交,
又 =2 ,
∴当a=2时, max=2 ,
(3)圆心C(a,3a)到直线x-y+m=0的距离d=
∵直线L是圆心C的切线,∴d=r , ,
∴m=2a±
∵直线L是圆心C下方, ∴m=2a-2 =( -1)2-1
∵ ,∴当a= 时,mmin=-1; 当a=4时,,mmax=8-4 ,
故实数m的取值范围是[-1,8-4 ]
附加题.(10分)设 点是圆 上的动点,过点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,切线 分别交 轴于 两点.是否存在点 ,使得线段 被圆 在点 处的切线平分?若存在,求出点 的纵坐标;若不存在,说明理由.
解:设存在点 满足条件
设过点 且与圆 相切的直线方程为:
则由题意得, ,化简得:
设直线 的斜率分别为 ,则
圆 在点 处的切线方程为
令 ,得切线与 轴的交点坐标为
又得 的坐标分别为
由题意知,
用韦达定理代入可得, ,与 联立,得