必修3第三章概率期末综合训练(含解析新人教A版)
(时间:100分钟;满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列事件中,随机事件的个数为( )
①在某学校2013年的田径运动会上,学生张涛获得100米短跑冠军;
②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;
④在标准大气压下,水在4 ℃时结冰.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选 C.①在某学校2013年的田径运动会上,学生张涛有可能获得100米短跑冠军,也有可能未获得冠军,是随机事件;②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,李凯不一定被抽到,是随机事件;③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张 ,不一定恰为1号签,是随机事件;④在标准大气压下,水在4 ℃时结冰是不可能事件.故选C.
2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.必然事件
解析:选B.根据题意,把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,故两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”,故两者不是对立事件,所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.
3.下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球,观察球的颜色;
②在公交车站候车不超过10分钟的概率;
③同时抛掷两枚硬币,观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数;
④从一桶水中取出100 mL,观察是否含有大肠杆菌.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.①符合两个特征;对于②和④,基本事件的个数有无限多个;对于③,出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等,故选A.
4.根据多年气象统计资料,某地6月1日下雨的概率为0.45,阴天的概率为0.2,则该日晴天的概率为( )
A.0.65 B.0.55
C.0.35 D.0.75
解析:选C.P=1-0.45-0.2=0.35.故选C.
5.任取一个三位正整数N,则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A.1225 B.3899
C.1300 D.1450
解析:选C.三位正整数有100~999,共900个,而满足log2N为正整数的N有27,28,29,共3个,故所求事件的概率为3900=1300.
6.在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A.16 B.13
C.23 D.45
解析:选C.设|AC|=x cm,0<x<12,则|CB|=(12-x) cm,要 使矩形面积大于20 cm2,只要x(12-x)>20,则x2-12x+20<0,2<x<10,所以所求概率为P=10-212=23,故选C.
7.小莉与小明一起用A,B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,以小莉掷的A立方体朝上的数字为x,小明掷的B立方体朝上的数字为y,来确定点P(x,y),那么他们各掷一次所确定的点P(x,y)落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为( )
A.16 B.19
C.112 D.118
解析:选C.根据题意,两人各掷骰子一次,每人都有六种可能性,则(x,y)的情况有6×6=36(种),即P点有36种可能,而y=-x2+4x=-(x-2)2+4 ,即(x-2)2+y=4,易得在抛物线上的点有(2,4),(1,3),(3,3)共3个,因此满足条件的概率为336=112.
8.从标有1,2,3,4的卡片中先后抽出两张卡片,则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是( )
A.14,13,12 B.14,13,14
C.14,14,12 D.14,12,12
解析:选C.第一次抽,每张卡片被抽到的概率相同,
∴号码4在第一次被抽到的概率为14;号码4在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为3×14×3=14;号码4在整个抽样过程中被抽到的概率为14+14=12.
9.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )
A.1-π8 B.1-π4
C.1-π2 D.1-3π4
解析:选B.若使函数有零点,必须Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,即a2+b2≥π2.
在坐标轴上将a,b的取值范围标出,如图所示.
当a,b满足函数有零点时,以(a,b)为坐标的点位于正方形内、圆外的部分(如阴影部分所示),于是所求的概率为1-π34π2=1-π4.
10.在箱子里装有十张纸条,分别写有1到10的十个整数.从箱子中任取一张纸条,记下它的读数x,然后再放回箱子中,第二次再从箱子中任取一张纸条,记下它的读数 y,则x+y是10的倍数的概率为( )
A.12 B.14
C.15 D.110
解析:选D.先后两次取纸条时,形成的有序数对有(1,1),(1,2),…,(1,10),…,(10,10),共100个.∵x+y是10的倍数,∴这些数对应该是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1),(10,10),共10个,故x+y是10的 倍数的概率是P=10100=110.故选D.
二、填空题(本大题共5小题,把答案填在题中横线上)
11.A,B,C为某随机试验中的三个事件,它们的对立事件分别为A-,B-,C-,则图中阴影部分表示的事件可以表示为________.
解析:由题图可知此事件为A∩B-∩C-.
答案:A∩B-∩C-
12.从一副混合后的扑克牌( 52张)中随机抽取1张,事件A为“抽得为红桃K”,事件B为“抽得为黑桃”,则概率P(A∪B)=________.(结果用最简分数表示)
解析:考查互斥事件概率公式P(A∪B)=152+1352=726.
答案:726
13.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,则这三点能构成三角形的概率是________.(结果用分数表示)
解析:∵B、C、D三点共线,A、C、E、F四点共线,∴从六个点中任取三点,能构成三角形的取法共有15种 ,总取法有20种,
∵能构成三角形的概率是1520=34.
答案:34
14.如图,圆C内切于扇形AOB,∠AOB=π3,若在扇形AOB内任取一点,则该点在圆C内的概率为________.
解析:设圆O的半径为1,圆C的半径为r,如图所示,∠COB=π6,
∴OC=2r,∴2r+r=1,∴r=13,
∴S圆C=π9.
又S扇形OAB=12×π3×1=π6,
∴所求概率P=π9π6=23.
答案:23
15.如图,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=x22与两直线x=2及y= 0所围成的阴影部分的面积S:
①先产生两组0~1的均匀随机数,a=RAND,b=RAND;②做变换,令x=2a,y=2b;③产生N个点(x,y),并统计满足条件y<x22的点(x,y)的个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1 000时, N1=332,则据此可估计S的值为________.
解析:根据题意:满足条件y<x22的点(x,y)的概率是3321 000,矩形的面积为4,则有S4=3321 000,∴S=1.328.
答案:1.328
三、解答题(本大题共5小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率.
(1)所得的三位数大于400;
(2)所得的三位数是偶数.
解:1,5,6三个数字可以排成156,165,516,561,615,651,共6个不同的三位数.
(1)大于400的三位数的个数为4,∴P=46=23.
(2)三位数为偶数的有156,516,共2个,∴相应的概率为P=26=13.
17.投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面的数字是0,两个面的数字是2,两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.
(1)求点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率;
(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域M上的概率.
解:(1) 点P的坐标有:(0,0),(0,2),(0,4),(2,0),(2,2),(2,4),(4,0),(4,2),(4,4)共9种,其中落在区域C:x2+y2≤10上的点P的坐标有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)共4种,
故点P落在区域C:x2+y2≤10上的概率为49.
(2)区域M为一边长为2的正方形,其面积为4,区域C的面积为10π,则豆子落在区域M上的概率为25π.
18.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点M.求四棱锥MABCD的体积小于16a3的概率.
解:设点M到平面ABCD的距离为h.由题意,
得13a2h<16a3,∴h<a2.
故四棱锥MABCD的体积小于16a3的概率为12.
19.已知集合Z={(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.
解:(1)设“x+y≥0,x,y∈Z”为事件A,x,y∈Z,x∈[0,2],即x=0,1,2;y∈[-1,1],即y=-1,0,1.
则基本事件有:(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)共9个.其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个,∴P(A)=89.
故x,y∈Z,x+y≥0的概率为89.
(2)设“x+y≥0,x,y∈R”为事件B,
∵x∈[0,2],y∈[-1,1]则
基本事件为如图四边形ABCD区域,事件B包括的区域为其中的阴影部分.
∴P(B)=S阴影S四边形ABCD=S四边形ABCD-12×1×1S四边形ABCD=2×2-12×1×12×2=78,故x,y∈R,x+y≥0的概率为78.
20.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
X12345
fa0.20.45bc
(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;
(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2,现从x1,x2,x3, y 1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
解:(1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.
因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b=320=0.15.
等级系数为5的恰有2件,
所以c=220=0.1,
从而a=0.35-b-c=0.1,
所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.
(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能情况为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}共10个.
设事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系 数相等”,则A包含的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共4个.
又基本事件的总数为10,故所求的概率P(A)=410=0.4.