教案12 解三角形(1)
一、课前检测
1.设函数 (Ⅰ)求函数 的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设 为 的三个内角,若 , ,且 为锐角,求 的值.
解:(Ⅰ)
……4分
……5分
所以函数 的最大值为 ,最小正周期为 . 7分
(Ⅱ) ,所以, , 9分
因为 为锐角, 所以 …10分
又因为在 中, ,所以 , 所以……11分
13分
2.已知函数 的图象如图所示.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)设 ,求函数 的单调递增区间.
解:(Ⅰ)由图可知 , ,………2分
又由 得, ,又 ,得
, …4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知: …6分
因为 …9分
所以, ,即 .……12分
故函数 的单调增区间为 .……13分
3.已知 为锐角,且 .
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)求 的值.
解:(Ⅰ) ,…………2分
所以 , ,
所以 .……………5分
(Ⅱ)
.……8分
因为 ,所以 ,又 ,
所以 ,………10分
又 为锐角,所以 ,
所以 .………12分
二、知识梳理
(一).三角形中的各种关系
设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C.
1.角与角关系:A+B+C = π,由A=π-(B+C)可得:
1)sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C).
2) .有: , .
2.边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,
a-b < c,b-c < a,c-a > b.
3.边与角关系:
1)正弦定理
变式有:① ;
② ;
③ ;
④ 。
正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题.
(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)
2)余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA.
注:余弦定理是勾股定理的推广.
变式有:cosA= ;cosB= ;cosC= .
余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
3)射影定理: a=b•cosC+c•cosB,
b=a•cosC+c•cosA,
c=a•cosB+c•cosA.
(二)面积公式(1) ( 分别表示a、b、c边上的高).
(2) .
(3) .
(三)已知 时三角形解的个数的判定:
三、典型例题分析
例1 在△ABC中,已知a= ,b= ,B=45°,求角A、C及边c.
解:A1=60° C1=75° c1=
A2=120° C2=15° c2=
变式训练1 (1) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
解:B 提示:利用余弦定理
(2)在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 ( )
A. B.
C. D.
解:C 提示:在斜三角形中,用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解
(3)在△ABC中,已知 , ,则 的值为( )
A B C 或 D
解:A 提示:在△ABC中,由 知角B为锐角
(4)若钝角三角形三边长为 、 、 ,则 的取值范围是 .
解: 提示:由 可得
(5)在△ABC中, = .
解: 提示:由面积公式可求得 ,由余弦定理可求得
(6)在 中, ,求 .
答案:
例2 在 中,已知 ,试判断 的形状.
答案:等腰三角形或直角三角形
变式训练2 在 中,若 ,则 必定是( D )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
变式训练3 在 中,若 ,试判断 的形状。 答案:等腰三角形或直角三角形
变式训练4 在△ABC中,若 sinA=2sinB cos C, sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
解:sinA=2sinBcosC
sin(B+C)=2sinBcosC
sin(B-C)=0 B=C
sin2A=sin2B+sin2C a2=b2+c2
∠A=90°
∴ △ABC是等腰直角三角形。
变式训练5 在△ABC中,sinA= ,判断这个三角形的形状.
解:应用正弦定理、余弦定理,可得
a= ,所以b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2-bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
例3 已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小.
解法一
由 得
所以 即
因为 所以 ,从而
由 知 从而 .
由
即
由此得 所以
解法二:由
由 、 ,所以 即
由 得
所以
即 因为 ,所以
由 从而 ,知B+2C= 不合要求.
再由 ,得 所以
变式训练6 已知△ABC中,2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,△ABC外接圆半径为 .
(1)求∠C;
(2)求△ABC面积的最大值.
解:(1)由2 (sin2A-sin2C)=(a-b)•sinB得
2 ( - )=(a-b) .
又∵R= ,∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.∴cosC= = .
又∵0°<C<180°,∴C=60°.
(2)S= absinC= × ab=2 sinAsinB=2 sinAsin(120°-A)
=2 sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+ sin2A
= sin2A- cos2A+ = sin(2A-30°)+ .
∴当2A=120°,即A=60°时,Smax= .
四、归纳与总结(以学生为主,师生共同完成)
1.已知两边和其中一边的对角求其他的边和角,这种题型可能无解、一解、两解等,要特别注意.
2.三角形中含边角的恒等变形问题,通常是运用正弦定理或余弦定理,要么将其变为含边的代数式做下去,要么将其变为含角的三角式做下去,请合理选择.