人教版高中数学必修系列：9.10球(备课资料)
●备课资料
一、进一步理解并应用球的性质
球的性质是圆的性质在空间中的延伸，教学中，应要求学生在熟练掌握圆的性质的基础上推导出球的性质，进而使学生在解决与球有关的问题中学会用“变未知为已知”的转化的数学思想，将空间的球变为平面的圆去解决.下面，试举两例，供读者体会.
［例1］已知球的两个平行截面分别为5π和8π,它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
分析：作出球的轴截面，实现空间图形平面化，进而利用圆的性质去解决问题.
解：如图所示，设这两个截面的半径分别为r1、r2,球心到截面距离分别为d1、d2,球半径为R，则πr12=5π,πr22=8π,∴r12=5,r22=8.
又∵R2=r12+d12=r22+d22,
∴d12-d22=8-5=3,
即（d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,
∴ 解得
∴R= = =3.
评述：以上例题中体现了空间球的“与截面垂直的直径过截面圆的圆心”到平面圆的“与弦垂直的直径过弦的中点”及“球半径2=球心到截面圆的距离2+截面圆的半径2”到“圆半径2=圆心到弦的距离2+弦长的一半2”的等价转化思想.
［例2］球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三个点的小圆的周长为4π,求这个球的半径.
分析：解决这个问题的关键是将已知条件中的“任意两点的球面距离等于大圆周长的 ”与“经过这三个点的小圆周长为4π”，转化成平面图形图中的问题去解决.
解：如图所示，设这三个点是A、B、C，球半径为R，A、B、C所在的小圆半径为r,则2πr=4π,∴r=2.
又∵A、B、C三点中任意两点的球面距离是大圆周长的 ，
∴球心角∠AOB=∠AOC=∠COA= .
又OA=OB=OC=R，∴AB=BC=CA=R.
∴△ABC是半径为2的圆O′的内接三角形.
∴△ABC的高为3.
∴AB=R=2 .
评述：(1)本题通过将“两点的球面距离等于大圆周长的 ”转化成“两点间的线段长等于球的半径”，将“经过三个点的小圆周长为4π,求球的半径”转化成“求周长为4π的圆的内接正三角形的边长”，从而将球面上两点间的距离、弧长公式及圆内接正三角形三者作为整体，体现了等价化归的数学思想，实现了问题的解决.
(2)将旧知识灵活巧妙地应用到新问题中，需有牢固的基础和一定的变通能力，这是我们在教学中应引起重视的一个重要方面.
二、“两点间的球面距离”的学习
1.在“两点间的球面距离”的教学中，应注意些什么？
答：(1)球面上两点间的距离，必须是在球的过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，而不能在过此两点的球的小圆中求.
(2)球面上两点间的距离指的是球面上两点之间的最短距离.
2.球面上两点间的距离的求法.
设球面上两点间的球心角为α弧度，球半径为R，则球面上两点间距离为|α|•R,所以求球面上两点间距离的关键是确定球心角.
(1)两点在同一经线圆上，可直接计算两点间的劣弧长度.
(2)两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用l=|α|•r可求得.
(3)两点经纬度都不同时，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角.对于这一种情况，高考不作要求.
［例3］设地球半径为R，城市A位于东经90°，北纬60°，城市B位于东经150°，北纬60°，求城市A与城市B之间的距离.
分析：因所求A、B两点在同一纬线圆上，故需先求出弦长，由余弦定理求球心角，再用l=|α|•r求得A、B两点间的球面距离.
解：如图，设北纬60°纬度圆圆心为O′，则∠AO1B=60°,
∵r=R•cos60°= R,
∴AB= R.
在△AOB中，
cosAOB= = = ,
∴∠AOB=arccos .
∴过A、B的大圆的劣弧长为R•arccos .
∴A、B的球面距离为R•arccos .
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一、球体积公式的学习
球体积公式叙述了球的体积与球半径之间的函数关系，即V（R）= πR3,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的体积方法.下面，我们通过例题的分析,体会不同条件下对球半径R不同的求法.
［例1］一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，则此球的体积是
A. πB.4 π
C. πD.4( +1)π
分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样就找到了正方体的对角线与球直径相等这一重要关系.
解：∵正方体的体积是8,
∴正方体的棱长为2.
又∵球的半径与内接正方体棱长的关系为2r= a,
∴r= .
∴球的体积V= π( )2=4 π.
答案：B
评述：此题的关键是寻找球半径与其内接正方体棱长之间的关系.
［例2］正三棱锥P―ABC的侧棱长为l,两侧棱的夹角为2α，求它的外接球的体积.
分析：利用正三棱锥的性质及平面几何知识求出球的半径.
解：如图所示，作PD⊥底面ABC于D，则D为正△ABC的中心.
∵OD⊥底面ABC，
∴P、O、D三点共线.
∵PA=PB=PC=l,∠APB=2α,
∴AB= =2lsinα.
∴AD= AB= lsinα.
再设∠APD=β，作OE⊥PA于E点，
在Rt△APD中，
∵sinβ= = sinα,
又OP=OA=R，
∴PE= PA= l.
在Rt△POE中，
∵R=PO= = ,
∴V球= π［ ］3.
∴V球= .
评述：此题应准确把握图形的特点，找出几何体内各个元素之间的关系，进而求出球的半径.
［例3］一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球.
求：（１）圆锥的侧面积；
（２）圆锥内切球的体积.
分析：作出轴截面图，将问题转化为已知△ABC的外接圆半径和高，求它的边AB、BC的长和内切圆半径，可通过平面几何知识解决.
解：（1）如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于⊙O，而⊙O1内切于△SAB.
设⊙O的半径为R，则有
πR3=972π.
∴R3=729,R=9.
∴SE=18.
已知SD=16,
∴ED=2.连结AE，则由SE是直径，SA⊥AE，SA2=SD•SE=18•16=288，
∴SA=12 .
∵AB⊥SD，
∴AD2=SD•DE=16×2=32.
∴AD=4 .
∴S圆锥侧=π•4 •12 =96π.
(2)设内切球O1的半径为r,
∵△SAB的周长为2（12 +4 ）=32 ,
∴ r×32 = ×8 ×16.
∴r=4.
∴内切球O1的体积V球= πr3= π.
评述：(1)在处理与球有关的相接切问题时，一般要通过作一适当的截面，将问题由立体转化为平面问题解决，而这类截面常指的是圆锥的轴截面、球的大圆等.
(2)通过此例的分析，应使学生注意归纳、总结解决数学综合性较强的问题的规律和 方法.
二、参考练习题
1.球与正四面体的6条棱都相切，则球与正四面体的体积比是多少？
解：如图所示，设正四面体棱长为a,球半径为R，取AB中点E，CD中点F，连结AF、CF，则AF=BF= ,
∴EF⊥AB.同理可得EF⊥CD.
∴EF是AB、CD的公垂线.
∴EF是AB、CD的距离,
EF= = = a.
又∵球与正四面体的6条棱都相切,
∴EF是该球的直径，即2R= a.
∴R3= a3.
∴V球= πR3= π• a3= πa3.
又V正四面体= a3,
∴V球∶V正四面体=π∶2.
2.棱长为a的正四棱锥的外接球的体积是多少？
解：如图所示，设正四棱锥P―ABCD，作PO⊥平面ABCD，则O为正方形ABCD的中心，
∴OA=OB=OC=OD= a.
又∵PA=PC=a,AC= a,
∴∠APC=90°.
∵O为AC的中点，
∴OP= a.
∵点O到A、B、C、D的距离相等,
∴球半径R=OA= a.
∴V球= π•( a)3= πa3.
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一、球表面积公式的学习
球的表面积公式叙述了球的表面积与球半径之间的函数关系，即S（R）=4πR2,教学中应要求学生熟练掌握在各种不同条件下求出球的半径，进而求出球的表面积.下面，我们通过例题的分析体会不同条件下对球半径R的不同求法.
［例1］正方体的全面积是a2,它的顶点都在这个球面上，则这个球的表面积是
A. B.
C.2πa2D.3πa2
分析：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，这样，就找到正方体的对角线与球直径相等这一结论了.
解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R.
依题意， R2= a2,
即R2= a2.
∴S球=4πR2=4π• a2= .
答案：B
［例2］长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是
A.20 πB.25 π
C.50πD.200π
分析：由长方体内接于球可以得到长方体的对角线长等于球的直径.
解：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52.
∴R2= .
∴S球表面积=4πR2=4π• =50π.
答案：C
［例3］已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是
A. πB. π
C.4πD. π
分析：设球心是O，可借助三棱锥O―ABC进行分析解决，三棱锥O―ABC是正三棱锥，OD是高，OA等于球的半径R，AB=BC=CA=2，为求球面积S，只需求出R即可.
解：∵D是正△ABC的中心,
∴AD是△ABC的外接圆半径.
∵AD= = ,
又OD= R= OA，
OA2=OD2+AD2,
∴R2= R2+ .
∴R2= .
∴球面积S=4πR2= π.
答案：D
［例4］长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 、 、 ，则它的外接球的表面积为________.
分析：根据球内接长方体的体对角线与球直径相等及矩形面积公式求得球半径.
解：设长方体的有公共顶点的三条侧棱长分别为x、y、z,则由已知有
解得
∴球的半径R= AB= = .
∴S球=4πR2=9π.
［例5］在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和 400π cm2,求球的表面积.
分析：画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径.
解：如图，圆O为球的轴截面，由球的截面性质知，
AO1∥BO2，且若O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球半径为R.
∵π•O2B2=49π,∴O2B=7 cm.
同理π•O1A2=400π.∴O1A=20 cm.
设OO1=x cm,则OO2=（x+9) cm.
在Rt△OO1A 中，R2=x2+202;
在Rt△OO2B中，R2=（x+9)2+72,
∴x2+20=72+(x+9)2,解得x=15.
∴R2=x2+202=252.∴R=25.
∴S球=4πR2=2500π cm2.
∴球的表面积为2500π cm2.
评述：(1)例1、例4解决的关键在于分析球半径与其内接长方体的对角线之间的关系，从而求出球半径.
(2)如果能注意到例3是一选择题，则除用以上方法计算求出答案外，还可以用估值方法作出判断：设球半径为R，球面积是S，根据棱锥和三角形的性质，有R=OA>AD> AB=1,
∴S=4πR2>4π.∴可排除A、B、C.
显然，这种方法带给我们简洁、明快的感觉，同时也提高了做题的速度.
二、与圆锥的内切球有关的问题的处理方法
在遇到圆锥的内切球问题时，常常引进母线与底面所成的角为参数，使得圆锥的底面半径和高均可用这个参数表示出来，进而使问题获解.
［例6］如图所示，已知P是以AB为直径的半圆上的一点，过P作半圆的切线，分别交直径BA的延长线于S点，交过B的半圆的切线于C点，将图形绕SB旋转一周，得到一个圆锥和一个球，若球的表面积为4π,求当圆锥的体积最小时，该圆锥的表面积.
分析：求出圆锥体积最小时的圆锥形状是解决问题的关键，而圆锥的体积则与它的底面半径及高有关，因此需要由已知条件列出圆锥体积与其底面半径和高的函数关系，使问题得到解决.
解：图中SDC为圆锥的轴截面，设球半径为r,∵S球=4π,∴r=1.
连结OC，设∠SCB=2θ，则∠OCD=θ,
∴圆锥底面半径BC=cotθ,圆锥的高SB=cotθ•tan2θ,
圆锥的体积V= π(cotθ)2•tan2θ•cotθ= • .
由0<2θ< ,∴0<θ< .
∴tan2θ<1,1-tan2θ>0.
由0
此时，圆锥表面积S=π•BC2+π•BC•SC=π•( )2+π• =8π.
评述：(1)以上例题中，通过设圆锥母线与底面所成角为２θ，使圆锥的底面半径与高均可用θ表示出来，将体积化为θ的函数，再运用平均不等式求最值.
(2)运用平均不等式求最值时，要注意其条件，特别是取等号的条件不可忽视.
(3)对于以上tan2θ(1-tan2θ),也可用二次函数求它的最大值，从而得到体积的最小值.而圆锥的形状也可由SA的大小决定，设为x，则圆锥的高为x+2,底面半径也用x表示.
∵BC=PC，SP2=SA•SB,
∴BC= .
∴V= π•( )2•(x+2).
当V取最小值时，x=2.
(4)对本课时教案例2的处理也可用以下方法得到处理：
设圆锥底面半径为r,母线长为l,内切球半径为R，设∠OAO1=θ，则由切线的性质可得∠SAO=∠OAO1=θ,∠SAO1=2θ,
∴r=Rcotθ,l= = .
∴πR2cot2θ+π•Rcotπ• =2•4πR2.
∴cot2θ+ =8.∴1+ =8tan2θ,
即 =8• .
∴9cos22θ-6cos2θ+1=0.
∴cos2θ= .
∴ = = =3.
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与球有关的综合问题的解决方法
与球有关的综合问题，常常体现在球与
其他几何体相接切问题中，它是知识与能力的结合，要求我们对球的定义及其性质熟练掌握,并要注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.下面通过对例题的分析，体会其中的数学思想与方法.
［例题］圆锥的内切球半径为r,求圆锥体积的最小值.
分析：通过作圆锥的轴截面及它截内切球所得的截面圆，寻找圆锥与球之间的主要元素关系，使问题获解.
解：如图，设圆锥母线与底面所成的角为2α，则圆锥的底面半径R= ,
高h=R•tan2α= • = .
圆锥的体积V= πR2h= π •
= πr3• ≥ πr3 = πr3.
当且仅当tan2α=1-tan2α,
即tanα= ,α=arctan 时，取等号.
又∵0<α< ,∴arctan ∈(0, ).
∴V的最小值为 r3.
评述：解决这个问题的关键是通过作一个合适的截面，使空间问题转化为平面问题.