第一课时 (一)
教学目标:
(1)理解的概念,掌握的两个特征、定理的内容及简单应用;
(2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力;
(3)渗透由“特殊到一般”,由“一般到特殊”的数学思想方法.
教学重点:的概念和定理
教学难点:定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.
教学活动设计:(在教师指导下完成)
(一)的概念
1、复习提问:
(1)什么是圆心角?
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
(2)圆心角的度数定理是什么?
答:圆心角的度数等于它所对弧的度数.(如右图)
2、引题:
如果顶点不在圆心而在圆上,则得到如左图的新的角∠ACB,它就是.(如右图)(演示图形,提出的定义)
定义:顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做
3、概念辨析:
教材P93中1题:判断下列各图形中的是不是,并说明理由.
学生归纳:一个角是的条件:①顶点在圆上;②两边都和圆相交.
(二)的定理
1、提出的度数问题
问题:的度数与什么有关系?
经过电脑演示图形,让学生观察图形、分析与圆心角,猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注意弧所对的的三种情况:圆心在的一边上、圆心在内部、圆心在外部.
(在教师引导下完成)
(1)当圆心在的一边上时,与相应的圆心角的关系:(演示图形)观察得知圆心在上时,是圆心角的一半.
提出必须用严格的数学方法去证明.
证明:(圆心在上)
(2)其它情况,与相应圆心角的关系:
当圆心在外部时(或在内部时)引导学生作辅助线将问题转化成圆心在一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时仍然等于相应的圆心角的结论.
证明:作出过C的直径(略)
定理: 一条弧所对的
周角等于它所对圆心角的一半.
说明:这个定理的证明我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法;在证明中,后两种都化成了第一种情况,这体现数学中的化归思想.(对A层学生渗透完全归纳法)
(三)定理的应用
1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径, ∠AOB=2∠BOC.
求证:∠ACB=2∠BAC
让学生自主分析、解得,教师规范推理过程.
说明:①推理要严密;②符号“”应用要严格,教师要讲清.
2、巩固练习:
(1)如图,已知圆心角∠AOB=100°,求∠ACB、∠ADB的度数?
(2)一条弦分圆为1:4两部分,求这弦所对的的度数?
说明:一条弧所对的有无数多个,却这条弧所对的的度数只有一个,但一条弦所对的的度数只有两个.
(四)总结
知识:(1)定义及其两个特征;(2)定理的内容.
思想方法:一种方法和一种思想:
在证明中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏;化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
(五)作业 教材P100中 习题A组6,7,8
第二、三课时 (二、三)
教学目标:
(1)掌握定理的三个推论,并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明;
(2)进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力;
(3)培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.
教学重点:定理的三个推论的应用.
教学难点:三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.
教学活动设计:
(一)创设学习情境
问题1:画一个圆,以B、C为弧的端点能画多少个?它们有什么关系?
问题2:在⊙O中,若 =,能否得到∠C=∠G呢?根据什么?反过来,若土∠C=∠G ,是否得到 =呢?
(二)分析、研究、交流、归纳
让学生分析、研究,并充分交流.
注意:①问题解决,只要构造圆心角进行过渡即可;②若 =,则∠C=∠G;但反之不成立.
老师组织学生归纳:
推论1:同弧或等弧所对的相等;在同圆或等圆中,相等的所对的弧也相等.
重视:同弧说明是“同一个圆”; 等弧说明是“在同圆或等圆中”.
问题: “同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所对的一定相等吗?(学生通过交流获得知识)
问题3:(1)一个特殊的圆弧――半圆,它所对的是什么样的角?
(2)如果一条弧所对的是90°,那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
学生通过以上两个问题的解决,在教师引导下得推论2:
推论2: 半圆(或直径)所对的是直角;90°的所对的弦直径.
指出:这个推论是圆中一个很重要的性质,为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件,要熟练掌握.
启发学生根据推论2推出推论3:
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角是直角三角形.
指出:推论3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
(三)应用、反思
例1、如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.
求证:AB・AC=AE・AD.
对A层同学,让学生自主地分析问题、解决问题,进行生生交流,师生交流;其他层次的学生在教师引导下完成.
交流:①分析解题思路;②作辅助线的方法;③解题推理过程(要规范).
解(略)
教师引导学生思考:(1)此题还有其它证法吗? (2)比较以上证法的优缺点.
指出:在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径上的,以便利用直径上的是直角的性质.
变式练习1:如图,△ABC内接于⊙O,∠1=∠2.
求证:AB・AC=AE・AD.
变式练习2:如图,已知△ABC内接于⊙O,弦AE平分
∠BAC交BC于D.
求证:AB・AC=AE・AD.
指出:这组题目比较典型,圆和相似三角形有密切联系,证明圆中某些线段成比例,常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.
例2:如图,已知在⊙O中,直径AB为10厘米,弦AC为6厘米,∠ACB的平分线交⊙O于D;
求BC,AD和BD的长.
解:(略)
说明:充分利用直径所对的为直角,解直角三角形.
练习:教材P96中1、2
(四)小结(指导学生共同小结)
知识:本节课主要学习了定理的三个推论.这三个推论各具特色,作用各异,在今后的学习中应用十分广泛,应熟练掌握.
能力:在解圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,构成直径所对的或构成相似三角形,这种基本技能技巧一定要掌握.
(五)作业
教材P100.习题A组9、10、12、13、14题;另外A层同学做P102B组3,4题.
探究活动
我们已经学习了“的度数等于它所对的弧的度数的一半”,但当角的顶点在圆外(如图①称圆外角)或在圆内(如图②称圆内角),它的度数又和什么有关呢?请探究.
提示:(1)连结BC,可得∠E=( 的度数― 的度数)
(2)延长AE、CE分别交圆于B、D,则∠B=的度数,
∠C=的度数,
∴∠AEC=∠B+∠C=( 的度数+ 的度数).