第25讲 与圆有关的位置关系
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．
2．知道三角形的内心和外心．
3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线. 直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中．考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查．圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中.
[导学必备知识]
知识梳理
一、点与圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
点在圆______，点在圆______，点在圆______．
2．点和圆的位置关系的判断
如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外 ________；点在圆上 ________；点在圆内 ________.
3．过三点的圆
(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．
(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
二、直线与圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系
________、________、________.
2．概念
(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个 点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．
3．直线和圆的位置关系的判断
如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交 ________；直线l和⊙O相切 ________；直线l和⊙O相离 ________.
三、切线的判定和性质
1．切线的判定方法
(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质
圆的切线垂直于经过________的半径．
3．切线长定理
过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
四、三角形(多边形)的内切圆
1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念
(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；
(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
2．三角形的内心的性质
三角形的内心是三角形三条____ ____的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．
五、圆与圆的位置关系
1．概念
①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．
2．圆与圆位置关系的判断
设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．两圆外离 d＞______；两圆外切 d＝______；两圆相交 ______＜d＜______(R≥r)；两圆内切 d＝______(R＞r)；两圆内含 ______≤d＜______(R＞r)．
六、两圆位置关系的相关性质
1．两圆相切、相交的有关性质
(1)相切两圆的连心线必经过________．
(2)相交两圆的连心线垂直平分________．
2．两圆位置关系中常作的辅助线
(1)两圆相交，可作公共弦．
(2)两圆相切，可作公切线．
自主测试
1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )
A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在 ⊙A外
2．(2012江苏无锡)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相离C．相离或相切 D．相切或相交
3．(2012湖北恩施)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
A．3 cm B．4 cmC．6 cm D．8 cm
4．如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有( )
A．内切、相交 B．外离、相交C．外切、外离 D．外离、内切
5．(2012四川乐山)⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置关系是( )
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
6．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为__________．
7．(2012山东济宁)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC．
(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论；
(2)求证：PC是⊙O的切线．
[探究重难方法]
考点一、点与圆的位置关系
【例1】 矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )
A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内
解析：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP中，DP＝AD2＋AP2＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝BC2＋BP2＝9.
∵PC＞DP，BP＜DP，∴点B在圆P内，点C在圆P外．
答案：C
方法总结 解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系．
触类旁通1若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )
A．点A在圆外 B．点A在圆上C．点A在圆内 D．不能确定
考点二、切线的性质与判定
【例2】 如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，DBDP＝DCDO＝23.
(1)求证：直线PB是⊙O的切线；
(2)求cos∠BCA的值．
分析：(1)连接OB，OP，由DBDP＝DCDO＝23，且∠D＝∠D，根据三角形相似的判定定理得到△BDC∽△P DO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO＝∠PAO＝90°；
(2)设PB＝a，则BD＝2a，根据切线长定理得到PA＝PB＝a，根据勾股定理得到AD＝22a，又BC∥OP，得到DC＝2CO，得到DC＝CA＝12×22a＝2a，则OA＝22a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA＝cos∠POA的值．
解：(1)证明：连接OB，OP，
∵DBDP＝DCDO＝23，且∠D＝∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC＝∠DPO，∴BC∥OP，
∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠BOP.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，∴∠BOP＝∠POA．
又∵OB＝OA，OP＝OP，
∴△BO P≌△AOP，∴∠PBO＝∠PAO.
又∵PA⊥AC，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，
∴直线PB是⊙O的切线．
(2)由(1)知∠BCO＝∠POA，设PB＝a，则BD＝2a，
又∵PA＝PB＝ a，∴AD＝DP2－PA2＝22A．
又∵BC∥OP，∴DC＝2CO，
∴DC＝CA＝12AD＝12×22a＝2a，∴OA＝22a，
∴OP＝OA2＋PA2＝22a2＋a2＝62a，
∴cos∠BCA＝cos∠POA＝OAOP＝33.
方法总结 1.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．
2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．
触类旁通2如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？
(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．
考点三、三角形的内切圆
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8.则△ABC的内切圆半径r=______.
解析：在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.
∵S△ACB＝12AC•BC＝12×6×8＝24，
∴r＝2Sa＋b＋c＝486＋8＋10＝2.
答案：2
方法总结 三角形的内切圆半径r＝2Sa＋b＋c，其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边长．
触类旁通3如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE的度数是( )
A．55° B．60° C．65° D．70°
考点四、圆与圆的位置关系
【例4】 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
解析：如图所示，由勾股定理可得AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5(cm)，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，
∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．
答案：A
方法总结 圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可．
触类旁通4 若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．
[品鉴经典考题]
1．(2012湖南常德)若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为( )
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
2．(2012湖南怀化)如图，点P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，⊙O的半径OA＝2 cm，∠P＝30°，则PO＝__________cm.
3．(2012湖南湘潭)如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为__________．
4.(2012湖南株洲)如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.
求证：(1)BD＝CD；(2)△AOC≌△CDB．
5. (2012湖南常德)如图，已知AB＝AC，∠BAC＝120°，在BC上取一点O，以O为圆心，OB为半径作圆，且⊙O过点A，过点A作AD∥BC交⊙O于点D．
求证：(1)AC是⊙O的切线；
(2)四边形BOAD是菱形．
[研习预测试题]
1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0,3) B．点(2,3)C．点(5,1) D．点(6,1)
2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝( )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( )
A．13 B．5C．3 D．2
4．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5．两圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
6．如图，∠ACB＝60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm.
7．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为__________．
8．如图所示，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E.
(1)求证：AD＝DC；
(2)求证：DE是⊙O1的切线；
(3)如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．
参考答案
【知识梳理】
一、1.外 上 内
2．d>r d＝r d
二、1.相离 相切 相交
2．(1)相交 割线 (2)相切 (3)相离
3．d
三、1.(1)外端 (2)等于 2.切点
四、1.(1)相切 内心 外切 (2)相切 2．角平分线
五、1.①没有 外部 ②唯一 外部 ③两个 ④唯一 内部 ⑤没有 内部
2．R＋r R＋r R－r R＋r R－r 0 R－r
六、1.(1)切点 (2)公共弦
导学必备知识
自主测试
1．A
2．D 因为⊙O的半径为2，PO＝2，则直线l与⊙O至少有一个交点，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
3．C 设切点为E，连接OA，OE.在Rt△OAE中，AE＝52－42＝3(cm)，所以AB＝6 cm.
4．B 5.D 6.23
7．解：(1)OD∥BC，OD＝12BC.
证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC.
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，BC⊥AC，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝12BC.
(2)证明：连接OC.设OP与⊙O交于点E，连接AE，CE.
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴ ，即∠AOE＝∠COE.
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP，
∴∠OCP＝∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，
∴∠O CP＝90°，即O C⊥PC.∴PC是⊙O的切线．
探究考点方法
触类旁通1.C
触类旁通2.分析：(1)连接OD，证明∠ODB＝90°即可；(2)利用30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再证BC＝CD＝5.
解：(1)直线BD与⊙O相切．
理由如下：
如图，连接OD，
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，
即OD⊥BD.
∴直线BD与⊙O相切．
(2)由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.
又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形．
∴OA＝OD＝CD＝5.
又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10.
∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝ 15.
触类旁通3.C ∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°.
∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠DOE＝180°－∠B＝130°.
∴∠DFE＝12∠DOE＝65°.
触类旁通4.3或17 由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R－r，即|10－r|＝7，所以r＝3或17.
品鉴经典考题
1．C ∵2＋4＝6＜7，∴两圆外离．
2．4 ∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝2×2＝4(cm)．
3．AB⊥BC 根据切线的判定方法，BC已经过半径的外端，所以应添加AB⊥BC.
4．证明：(1)∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°.
又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD，
∴∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°.
又∵BC与⊙O切于点C，
∴∠OCB＝90°.∴∠BCD＝30°.
∴∠B＝30°.∴∠BCD＝∠B.∴BD＝CD.
(2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，
∴AC＝BC.∴△AOC≌△BDC.
5．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°.
∵点A，B都在⊙O上，∴OA＝OB.
∴∠BAO＝∠ABC＝30°.
∴∠OAC＝∠BAC－∠BAO＝120°－30°＝90°.
又OA为半径，CA经过点A，
∴CA是⊙O的切线．
(2)如图，连接DO，∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=30°.
∴∠BOD=2∠DAB=60°.
∴∠ADO=∠BOD=60°.
又∵BO=DO，
∴∠BOD=∠ODB=∠DBO=60°.
∴BO=DO=DB.
同理AD=DO=AO.
∴AD=DB=BO=AO.
∴四边形BOAD是菱形．
研习预测试题
1．C 2.D 3.B 4.B
5．D 因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x轴和y轴上，与坐标原点构成直角三角形，
所以圆心距为(3)2＋12＝2.
而两圆的半径之差等于2，即d＝r1－r2(r1＞r2)．
所以两圆内切．
6.3
7. 23 如图，连接OE，OC，OC与EF交于G点．∵AB是 ⊙O的切线，
∴OC⊥AB.
∵EF∥AB，∴OC⊥EF.
∴EG=12EF.
∵∠O=2∠D=60°，
∴EG=OE•sin 60°=3.∴EF=23.
8. 解：(1)证明：如图，连接OD，
∵AO是⊙O1的直径，
∴∠ADO=90°.∵AC为⊙O的弦，OD⊥AC，∴AD=DC.
(2)证明：∵D为AC中点，O1为AO 中点，∴O1D∥OC.
又∵DE⊥OC，∴DE⊥O1D.
∴DE与⊙O1相切．
(3)O1OED为正方形．
证明：∵OE=EC，且D为AC中点，
∴DE∥O1O.又∵O1D∥OE，
∴四边形O1OED为平行四边形．
又∵∠DEO=90°，O1O=O1D，
∴四边形O1OED为正方形．