第22课时 圆的有关概念
【课时目标】
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．
2．探索并掌握垂径定理及其 推论．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．
4．知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．
【知识梳理】
1．圆的基本概念：
在同一平面内，线段OA绕它固定的一 个端点_______形成的图形叫做圆，_______叫做圆心，_______叫做半径．圆上任意两点间的_______叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够_______的弧叫做等弧．
2．圆的有关性质：
(1)对称性：圆是中心对称图形，_______是它的对称中心；圆也是轴对称图形，_______都是它的对称轴．
(2)圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．
(3)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分这条弦所对的两条弧．
3．圆心角和圆周角：
(1)圆心 角：顶点在_______的角叫做圆心角；圆心角的度数_______它所对的弧的度数．
圆周角：顶点在圆上，两边都与圆_______的角叫做圆周角．
(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_______，都等于这条弧所对的圆心角的_______．推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是_______，90°的圆周角所对的弦是________．
4．确定圆的条件：
(1) 不在_______的三个点可以确定一个圆．
(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做________．
5．圆内接四边形：圆内接四边 形的对角_______．
【考点例析】
考点一 垂径定理及其推论
例1如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB
于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为 ( )
A．8 B．10
C．16 D．20
提示 连接OC，即可证得△OEC是直角三角形，根据垂径定理即可求得OC，进而求 出AB的长．
考点二 圆周角定理及其推论
例 2如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为 ( )
A． 35° B．45° C．55° D．75°
提示 连接AD，由“AB是⊙O的直径”可知∠ADB＝
90°．因为∠ABD＝55°，所以∠A＝90°－55°＝35°．又
因为∠A与∠BCD是 所对的圆周角，所以∠BCD＝∠A．
例3如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________．
提示 先由平行四边形的性质得到∠ABC＝∠AOC，由
圆周角定理得∠ADC＝ ∠AOC，再根据圆内接四边形的对
角互补及平行四边形的性质求出四边形OABC各内角的度
数，最后把∠OAD＋∠OCD看作整体来求解．
考点三 圆的性质与其他知识的综合运用
例4 如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作 BD⊥MN于点D，P为DC上的 任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是________．
提示 先由MN＝20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由
勾股定理得出OD、CC的长，作点B关于MN的对称点B'，连
接AB'，则AB'即为PA＋PB的最小值，B'D＝BD＝6．过点B'
作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB'E中利用勾
股定理即可求出AB'的值．
例5（2012．凉山）如图，直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点 ，点B、C把 三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D(0，3)．
(1)求证：△POD≌△ABO；
(2)若直线l：y＝kx ＋ b经过圆心P和点D，求直线l的解析式．
提示 (1)要证明△POD≌△A BO，已有AP＝PO这一
条件，又由OA为⊙P的直径 可知∠ABO＝∠AOD＝90°，现
在只 需再证一组角相等即可 ．连接PB，由点B、C把 三等
分，可得∠1＝∠2＝60°，进而得∠3＝∠ 2＝60°，从而全等得
证；(2)用待定系数法确定直线l的解析式，只需得到点P和点D
的 坐标．
【反馈练习】
1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是 ( )
A．AE＝BE B．OE＝DE
C．∠AOD＝50°D．D是 的中点
2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为( )
A．20° B．40° C．50° D．80°
3 ．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内 上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径长为 ( )
A．6 B．5 C．3 D．3
4．如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3 cm，DB＝10 cm．以DB为直径作⊙O交射 线AP于E、F两点，则EF的长是_______cm．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．
6．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b>0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点为O'．
(1)求证：四边形OAOB是菱形；
(2)当点O'落在⊙O上时，求b的值．