开放性问题
【题型特征】 一个数学问题系统中,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论.如果这些部分齐备,称之为封闭性问题.若不完全齐备,称之为开放性问题,数学开放题就是指那些条件不完整,结论不确定,解法不限制的数学问题,它的显著特点是正确答案不唯一.
常见的开放性问题有:(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.
【解题策略】 (1)条件开放型,指结论给定,条件未知或不全,需要探求结论成立的条件,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.
解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,挖掘条件,逆向追索,逐步探求,最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.
(2)结论开放型,指条件充分给定,结论未知或不全,需要探求,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中,以解答题居多.
解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.
(3)策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中,一般出现在阅读题、作图题和应用题中.
解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.
(4)综合开放型,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题.
解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.
类型一 条件开放型
典例1 (2015•云南)写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的表达式(表达式) .
【解析】 ∵正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象经过一、三象限,
∴k>0.
比如k=1.故答案可以为y=x.
【全解】 y=x.
【技法梳理】 解答条件开放题主要根据“执果索因”的原则,多层次、多角度地加以思考和探究.
解题的关键是掌握正比例函数图象的性质:它是经过原点的一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
举一反三
1. (2015•江苏连云港)若函数 的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是 .(写出一个即可)
2. (2015•江苏淮安)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是 (只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段).
(第2题)
【小结】 解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.
类型二 结论开放型
典例2 (2015•浙江金华)写出一个解为x≥1的一元一次不等式 .
【全解】 答案不唯一,只要根据不等式的解法,求其解集为x≥1即可.例如x-1≥0.
举一反三
3. (2015•吉林)如图,OB是?O的半径,弦AB=OB,直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点,连接PA,则∠PAB的度数可以是 .(写出一个即可)
(第3题)
4. (2015•甘肃天水)写出一个图象经过点(-1,2)的一次函数的表达式 .
【小结】 结论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设),要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与,而后者答案一般只有一个,解题目标大多比较明确.
类型三 策略开放型
典例3 (2015•山东淄博)如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)
【解析】
【技法梳理】 策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种,造成多个答案各具特色,解答时应根据优劣选择出最佳解答.
举一反三
5. (2015•湖北荆门)如图,在44的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有( ).
(第5题)
A. 2种B. 3种
C. 4种D. 5种
【小结】 解策略型开放题时,要对已有条件进行发散联想,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想,并认真加以研究和验证,直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想,作多方面设计与思考.
类型四 综合开放型
典例4 (2015•山东威海)猜想与证明:
如图(1)摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.
拓展与延伸:
(1)
(2)
(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为 .
(2)如图(2)摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.
【解析】 猜想:延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.
(1)延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,
(2)连接AE,AE和EC在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.
【全解】 猜想:DM=ME.
证明如下:如图(1),延长EM交AD于点H,
(1)
∵四边形ABCD和CEFG是矩形,
∴AD∥EF.
∴∠EFM=∠HAM.
又∠FME=∠AMH,FM=AM,
在△FME和△AMH中,
∴△FME≌△AMH(ASA).
∴HM=EM.
在Rt△HDE中,HM=EM,
∴DM=HM=ME.
∴DM=ME.
(1)DM=ME
(2)如图(2),连接AE,
(2)
∵四边形ABCD和ECGF是正方形,
∴∠FCE=45°,∠FCA=45°.
∴AE和EC在同一条直线上.
在Rt△ADF中,AM=MF,
∴DM=AM=MF.
在Rt△AEF中,AM=MF,
∴AM=MF=ME.
∴DM=ME.
【技法梳理】 本题属四边形的综合,运用正方形边相等,角相等证明二个三角形全等,从而得出二条线段相等,本题的难点是辅助线的做法,通过延长或连接线段等手段来证明二个三角形全等.
举一反三
6. (2015•湖南湘潭)△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC.
(1)求证:△BDF∽△CEF;
(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;
(3)已知A,D,F,E四点共圆,已知 ,求此圆直径.
(第6题)
【小结】 考试时,对于综合开放题,若没有其他要求,可选用简单情型的进行解答.
类型一
1. (2015•湖南娄底)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是 .(添加一个条件即可)
(第1题)
2. (2015•黑龙江黑河)如图,已知△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,要使△ABD≌ACE,则只需添加一个适当的条件是 .(只填一个即可)
(第2题)
3. (2015•湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足 ,则a,b平行.
(第3题)
(第4题)
4. (2015•贵州铜仁)如图所示,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,证明:AB=AC.
(1)你添加的条件是 ;
(2)请写出证明过程.
类型二
5. (2015•北京)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2.写出一个函数 ,使它的图象与正方形OABC有公共点,这个函数的表达式为 .
(第5题)
6. (2015•山东滨州)写出一个运算结果是a6的算式 .
7. (2015•湖南邵阳)如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形: .
(第7题)
类型三
8. (2015•浙江温州)请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).
9. (2015•浙江金华)在棋盘中建立如图所示的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们的坐标分别是(-1,1),(0,0),(1,0).
(1)如图(2),添加棋子C,使四颗棋子A,O,B,C成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使四颗棋子A,O,B,P成为轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标.(写出2个即可)
10. (2015•浙江宁波)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀,分成3张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图说明剪法.
我们有多少种剪法,图(1)是其中的一种方法:
定义:如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.
(1)请你在图(2)中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出x所有可能的值;
(3)如图(3),△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长.
(1)
类型四
11. (2015•湖北随州)已知两条平行线l1,l2之间的距离为6,截线CD分别交l1,l2于C,D两点,一直角的顶点P在线段CD上运动(点P不与点C,D重合),直角的两边分别交l1,l2与A,B两点.
(1)操作发现
如图(1),过点P作直线l3∥l1,作PE⊥l1,点E是垂足,过点B作BF⊥l3,点F是垂足.此时,小明认为△PEA∽△PFB,你同意吗?为什么?
(2)猜想论证
将直角∠APB从图(1)的位置开始,绕点P顺时针旋转,在这一过程中,试观察、猜想:当AE满足什么条件时,以点P,A,B为顶点的三角形是等腰三角形?在图(2)中画出图形,证明你的猜想.
(3)延伸探究
在(2)的条件下,当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时,设CP=x,试探究:是否存在实数x,使△PAB的边AB的长为4 ?请说明理由.
(1)
(2)
(第11题)
12. (2015•黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形?请说明你的理由.
参考答案
【真题精讲】
1. 答案不唯一,只要m-1<0即可,例如m=-1等.
解析:∵函数 的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,
∴m-1<0.
∴m<1.
例如m=-1等.
2. 答案不唯一,例如AB=CD.
解析:已知AB∥CD,可根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定,也可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定.因此我们可以直接写出条件AB=CD,AD∥BC,或可以推出AD∥BC的一些条件,如∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等.故答案可以为AB=CD.
3. 答案不唯一,可以为70°.
解析:设AB与CD相交于点E,
∵AB=OB,直径CD⊥AB,
∴OB=2BE.
∴∠BOC=30°.
∴∠AOC=30°.
∴∠ADC=15°.
∵点P是线段OD上的动点,
∴15°≤∠APC≤30°.
∴60°≤∠PAB≤75°.
4. 答案不唯一,如y=x+3.
5. C 解析:如图所示:组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有4种.
(第5题)
6. (1)∵DF⊥AB,EF⊥AC,
∴∠BDF=∠CEF=90°.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°.
∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,
∴△BDF∽△CEF.
当m=2时,S取到最大值,最大值为3 .
(3)如图(2),
(第6题(2))
∵A,D,F,E四点共圆,
∴∠EDF=∠EAF.
∵∠ADF=∠AEF=90°,
∴AF是此圆的直径.
【课后精练】
1. 答案不唯一,如∠ABC=90°或AC=BD
2. 答案不唯一,如BD=CE
3. 答案不唯一,如∠1=∠2或∠2=∠3或∠3+∠4=180°.
4. (1)添加的条件是可以是∠B=∠C(答案不唯一);
(2)证明:在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
9. (1)如图(2)所示,直线l即为所求;
(2)如图(1)所示,P(0,-1),P'(-1,-1)都符合题意.
(1)
(2)
(第9题)
10. (1)如图(1)作图,
(第10题(1))
(2)①当AD=AE时,如图(2),
(第10题(2))
∵2x+x=30+30,
∴x=20.
②当AD=DE时,如图(3),
(第10题(3))
∵30+30+2x+x=180,
∴x=40.
(3)如图(4),CD,AE就是所求的三分线.
(第10题(4))
设∠B=α,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α,
此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC.
设AE=AD=x,BD=CD=y,
∵△AEC∽△BDC,
∴x∶y=2∶3.
∵△ACD∽△ABC,
∴2∶x=(x+y)∶2.
11. (1)同意.证明如下:由题意,得
∠EPA+∠APF=90°,∠FPB+∠APF=90°,
∴∠EPA=∠FPB.
又∠PEA=∠PFB=90°,
∴△PEA∽△PFB.
(2)∵∠APB=90°,
∴要使△PAB为等腰三角形,只能是PA=PB.
当AE=BF时,PA=PB.
∵∠EPA=∠FPB,∠PEA=∠PFB=90°,
AE=BF,
∴△PEA≌△PFB.
∴PA=PB.
(3)在Rt△PEC中,CP=x,∠PCE=30°,
整理,得x2-12x-8=0.
解得x=6-2 <0(舍去)或x=6+2 .
∵x=6+2 >6+6=12,
又CD=12,
∴点P在CD的延长线上,这与点P在线段CD上运动相矛盾.
∴不合题意.
综上,不存在满足条件的实数x.
12. (1)∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB.
∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形.
∴CE=AD.
(2)四边形BECD是菱形.理由如下:
∵D为AB的中点,
∴AD=BD.
∵CE=AD,
∴BD=CE.
∵BD∥CE,
∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=BD.
∴四边形BECD是菱形.
(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由如下:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°.
∴AC=BC.
∵D为AB的中点,
∴CD⊥AB.
∴∠CDB=90°.
∵四边形BECD是菱形,
∴四边形BECD是正方形.
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.