教学设计
1.1.2 集合间的基本关系
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．
三维目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
重点难点
教学重点：理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：理解空集的含义．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．
思路2.复习元素与集合的关系――属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2____Q；(3)－1.5____R.
类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大 小”关系呢？
(答案：(1)∈；(2) ；(3)∈)
推进新课
新知探究
提出问题
(1)观察下面几个例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？
(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．
(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？
(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点．
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．
(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆.
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．
(6)分类讨论：当A⊆B时，A B或A＝B.
(7)方程x2＋1＝0没有实数解．
(8)空集记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，即 ⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即 A(A≠ )．
(9)类比子集．
讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．
(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4 A；而例子④中集合E和集合 F中的元素完全相同．
(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
(5)如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.
图1
图2
(6)如图3和图4所示．
图3
图4
(7)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．
(8)空集．
(9)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C.
应用示例
思路1
例1 某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．
(1)则下列包含关系哪些成立？
A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.
(2)试用Venn图表示集合A，B，C间的关系．
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：
(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．
(2)根据集合A，B，C间的关系来画出Ven n图．
解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆C.
(2)集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示．
图5
变式训练
课本本节练习3.
点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．
判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A B；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元 素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有A B，且B A，即集合A，B互不包含.
例2 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．
解：集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ，{a}，{b}.
变式训练
已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )
A．4 B．3 C．2 ．1
解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，
又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．
答案：A
点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．
思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？
解：当n＝0时，即空集的子集为 ，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为 ，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b }的子集为 ，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.…
集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.
思路2
例1 已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2} ．若B⊆A，则实数m＝________.
活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．
解析：∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．
讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
变式训练
已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，求实数a的取值范围．
分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠ ，由于N M，则N＝ 或N≠ ，要对集合N是否为空集分类讨论．
解：由题意得M＝{x|x＞2}≠ ，则N＝ 或N≠ .当N＝ 时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠ 时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝1a，又∵N M，∴1a∈M.∴1a＞2.∴0＜a＜12.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜12，即实数a的取值范围是a0≤a<12.
例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数： ，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．
解：(1) 的子集有： ，即 有1个子集；
{a}的子集 有： ，{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有： ，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．
(2)由(1)可得：当n＝0时，集合M有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集；
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
变式训练
已知集合A {2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析：对集合A所含元素的个数分类讨论．
A＝ 或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．
答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
知能训练
课本本节练习1,2.
【补充练习】
1．判断正误：
(1)空集没有子集．( )
(2)空集是任何一个集合的真子集．( )
(3)任一集合必有两个或两个以上的子集．( )
(4)若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.( )
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．
解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．
对于(1)，(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x A时也必有x B.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．
分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集： ，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．
3．(1)下列命题正确的是( )
A．无限集的真子集是有限集
B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集
D．{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为( )
①{1}∈{0,1,2} ②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2} ④ ∈{0,1,2} ⑤ ∈{0}
A．5 B．2 C．3 D．4
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( )
A．a M B．a M
C．{a}∈M D．{a} M
解析：(1)该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于 只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．
①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是 ⊆{0,1,2}，⑤应是 ⊆{0}．
故错误的有①④⑤.
(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一个元素，
因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集 ，那么{a} M.
答案：(1)C (2)C (3)D
4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x |x＝2m＋1，m∈Z}；
(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
故A，B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2•2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有B A.
点评：此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足Q P，求a所取的一切值．
解：因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝ ，Q P成立．又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝－1a，要Q P成立，则有－1a＝2或－1a＝－3，a＝－12或a＝13.综上所述，a＝0或a＝－12或a＝13.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解， 即Q为空集的情况，而当Q＝ 时，满足Q P.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，要使A P⊆B，求满足条件的集合P.
解：A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝ ，
B＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－1,1，－4}，
由A P⊆B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为
{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．
7．设A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，
故x为 ，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.
点评：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．
8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝ 满足B⊆A.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立，需m＋1≥－2，2m－1≤5，可得2≤m≤3.
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝ 即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B≠ ，则要满足条件：m＋1≤2m－1，m＋1>5或m＋1≤2m－1，2m－1<－2，解之，得m＞4.
综上有m＜2或m＞4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略 ；找A中的元素；分类讨论思想的运用．
拓展提升
问题：已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多 少个？
活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．
解法1：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有： ，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．
又满足A⊆C的集合A有： ，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．
其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个： ，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．
解法2：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有2 3＝8(个)．
点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．
课堂小结
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
作业
课本习题1.1A组 5.
设计感想
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．
备课资料
【备选例题】
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？
图6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
【例2】设集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足B A的a的值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由已知得A＝{x||x|＝1，或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵B A，∴B＝ 或B≠ .当B＝ 时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠ 时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝2a－2∈A，∴2a－2＝－2或2a－2＝－1或2a－2＝1或2a－2＝2.解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．
答案：D
【例3】集合A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8 C．7 D．4
解析：A＝{x|0≤x＜3，且x∈N}＝{0,1,2}，则A的真子集有23－1＝7(个)．
答案：C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
思路分析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准．
解：当a＝1时，B＝{1}，所以B是A的子集；当1＜a≤3时，B也是A的子集；当a＜1或a＞3时，B不是A的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B是A的子集．
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．
【思考】
(1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“⊆”有什么区别？
剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的 背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于1x＝0，x2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|＜0的解集是空集．
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号 的含义及其应用范围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z，12 Z；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}⊆{1,0}， ⊆{x|x＜0}．