第二节 带电粒子在磁场中的运动
一、单项选择题
1．(2011年广东广州模拟)速率相同的电子垂直磁场方向进入四个不同的磁场，其轨迹如下图所示，则磁场最强的是( )
解析：选D.由qvB＝mv2r得r＝mvqB，速率相同时，半径越小，磁场越强，选项D正确．
2．初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中的电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则( )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，速率不变
D．电子将向右偏转，速率改变
解析：选A.由安培定则可知，直导线右侧的磁场方向垂直纸面向里，电子带负电，用左手定则判断洛伦兹力的方向时，四指指向负电荷运动的反方向，大拇指指向此时洛伦兹力的方向，方向向右，电子向右偏转；而洛伦兹力不做功，则速率不变，故A正确．
3．(2011年浙江杭州模拟)质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示，离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看成零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子射出磁场的位置到入口处S1的距离为x，下列判断正确的是( )
A．若离子束是同位素，则x越大，离子进入磁场时速度越小
B．若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小
C．只要x相同，则离子质量一定不相同
D．只要x相同，则离子的比荷一定相同
解析：选D.在加速电场中，qU＝12mv2；在磁场中qvB＝mv2R；由几何关系知x＝2R；以上三式联立可得x＝2mvqB＝2B 2mUq，只有选项D正确．
4．(2011年山东淄博模拟)如图所示，ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，磁场垂直纸面向外，比荷为em的电子以速度v0从A点沿AB方向射入，欲使电子能经过BC边，则磁感应强度B的取值应为( )
A．B＞3mv0ae B．B＜2mv0ae
C．B＜3mv0ae D．B＞2mv0ae
解析：选C.如图所示，由题意知，当电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝a2/cos30°＝a3，要想电子从BC边经过，圆周运动的半径要大于a3，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝mvqB，有a3＞mv0eB，即B＜3mv0ae，C选项正确．
二、双项选择题
5．(2011年广东四校联考)质量为m、带电荷量为q的粒子(忽略重力)在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，形成空间环形电流．已知粒子的运动速率为v、半径为R、周期为T，环形电流的大小为I.则下面说法正确的是( )
A．该带电粒子的比荷为qm＝BRv
B．在时间t内，粒子转过的圆弧对应的圆心角为θ＝qBtm
C．当速率v增大时，环形电流的大小I保持不变
D．当速率v增大时，运动周期T变小
解析：选BC.在磁场中，由qvB＝mv2R，得qm＝vBR，选项A错误；在磁场中运动周期T＝2πmqB与速率无关，选项D错误；在时间t内，粒子转过的圆弧对应的圆心角θ＝tT•2π＝qBtm，选项B正确；电流定义I＝qT＝Bq22πm，与速率无关，选项C正确．
6．(2011年深圳模拟)1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示．这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是( )
A．离子由加速器的中心附近进入加速器
B．离子由加速器的边缘进入加速器
C．离子从磁场中获得能量
D．离子从电场中获得能量
解析：选AD.回旋加速器对离子加速时，离子是由加速器的中心附近进入加速器的，故选项A正确，选项B错误；离子在磁场中运动时，洛伦兹力不做功，所以离子的能量不变，故选项C错误；D形盒D1、D2之间存在交变电场，当离子通过交变电场时，电场力对离子做正功，离子的能量增加，所以离子的能量是从电场中获得的，故选项D正确．
7．(2011年辽宁锦州模拟)如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒子(不计重力)以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间为t；若该区域加沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了π/3，根据上述条件可求得的物理量为( )
A．带电粒子的初速度
B．带电粒子在磁场中运动的半径
C．带电粒子在磁场中运动的周期
D．带电粒子的比荷
解析：选CD.设圆柱形区域的半径为R，粒子的初速度为v0，则v0＝2Rt，由于R未知，无法求出带电粒子的初速度，选项A错误；若加上磁场，粒子在磁场中的轨迹如图所示，设运动轨迹半径为r，运动周期为T，则T＝2πrv0，速度方向偏转了π/3，由几何关系得，轨迹圆弧所对的圆心角θ＝π/3，r＝3R，联立以上式子得T＝3πt；由T＝2πm/qB得q/m＝23Bt，故选项C、D正确；由于R未知，无法求出带电粒子在磁场中做圆周运动的半径，选项B错误．
8．(2011年上海模拟)环形对撞机是研究高能粒子的重要装置，其核心部件是一个真空的圆环状的空腔．若带电粒子的初速度可视为零，经电压为U的电场加速后，沿圆环切线方向注入对撞机的环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.带电粒子将被局限在圆环状空腔内运动．要维持带电粒子在圆环内做半径确定的圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷q/m越大，磁感应强度B越小
B．对于给定的加速电压，带电粒子的比荷q/m越大，磁感应强度 B越大
C．对于给定的带电粒子，加速电压U越大，粒子运动周期越小
D．对于给定的带电粒子，不管加速电压U多大，粒子运动的周期都不变
解析：选AC.带电粒子先经电压为U的电场加速，由动能定理有qU＝12mv2，沿圆环切线方向注入对撞机的环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，粒子做匀速圆周运动，由qvB＝mv2R，解得：R＝1B 2mUq，因半径R确定，对于给定的加速电压，带电粒子的比荷q/m越大，磁感应强度B越小，选项A正确；对于给定的带电粒子，加速电压U越大，磁感应强度越大，由周期公式T＝2πmqB，所以粒子运动周期越小，选项C正确，选项D错误．
三、非选择题
9．在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出．
(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷qm.
(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
解析：(1)由粒子的飞行轨迹，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．
粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径r＝R，
又qvB＝mv2R，
则粒子的比荷为qm＝vBr.
(2)令粒子飞出磁场的点为D点，则粒子从D飞出磁场速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°角．用粒子速度的偏向角的角平分线及一处(A点)速度的垂线可找出圆心．
粒子做圆周运动的半径：R′＝rcot30°＝3r，
又：R′＝mvqB′，所以B′＝33B，
粒子在磁场中飞行时间t＝16T＝16•2πmqB′＝3πr3v.
答案：(1)负电 vBr (2)3B3 3πr3v
10．(2011年东北四市联考)如图所示，在空间有一直角坐标系xOy，直线OP与x轴正方向的夹角为30°，第一象限内有两个方向都垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的理想边界，OP上方区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B.一质量为m，电荷量为q的质子(不计重力，不计质子对磁场的影响)以速度v从O点沿与OP成30°角的方向垂直磁场进入区域Ⅰ，质子先后通过磁场区域Ⅰ和Ⅱ后，恰好垂直打在x轴上的Q点(图中未画出)，试求：
(1)区域Ⅱ中磁场的磁感应强度大小；
(2)Q点到O点的距离．
解析：(1)设质子在匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ中
做匀速圆周运动的轨道半径分别为r1和r2，区域Ⅱ中磁感应强度为B′，由牛顿第二定律得
qvB＝mv2r1
qvB′＝mv2r2
粒子在两区域运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，质子从A点出匀强磁场区域Ⅰ时的速度方向与OP的夹角为30°，故质子在匀强磁场区域Ⅰ中运动轨迹对应的圆心角为θ＝60°
则ΔO1OA为等边三角形OA＝r1
r2＝OAsin 30°＝12r1
解得区域Ⅱ中磁感应强度为B′＝2B.
(2)Q点到O点的距离为x＝OA cos 30°＋r2＝(3＋12)mvqB.
答案：(1)2B (2)(3＋12)mvqB
1．(2010年高考江苏卷)如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场区域的对称轴OO′与SS′垂直．a、b、c三个质子先后从S点沿垂直于磁场的方向射入磁场，它们的速度大小相等，b的速度方向与SS′垂直，a、c的速度方向与b的速度方向间的夹角分别为α、β，且α>β.三个质子经过附加磁场区域后能到达同一点S′，则下列说法中正确的有( )
A．三个质子从S运动到S′的时间相等
B．三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在OO′轴上
C．若撤去附加磁场，a到达SS′连线上的位置距S点最近
D．附加磁场方向与原磁场方向相同
解析：选CD.三个质子运动的弧长不同，但速度大小相同，所以运动的时间一定不同，选项A错误；假设三个质子在附加磁场以外区域运动轨迹的圆心均在OO′轴上，则必定三个质子运动轨迹的半径不同，这与R＝mvqB都相同相矛盾，所以选项B错误；若撤去附加磁场，画出三个质子的运动轨迹(图略)，a、b、c三个质子到达SS′连线的位置距离S的长度分别为sa＝2Rcosα，sb＝2R，sc＝2Rcosβ，由于α>β，所以sa最小，选项C正确；由于撤去附加磁场sb最大，加上附加磁场三者都经过S′，又由于质子b经过附加磁场区域最大，所以附加磁场应起到“加强偏转”的作用，即附加磁场方向与原磁场方向相同，选项D正确．
2．(2010年高考山东卷)如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m、带电量＋q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
(1)粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1.
(2)粒子第n次经过电场时电场强度的大小En.
(3)粒子第n次经过电场所用的时间tn.
(4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线(不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值)．
解析：(1)设磁场的磁感应强度大小为B，粒子第n次进入磁场时的半径为Rn，速度为vn，由牛顿第二定律得
qvnB＝mv2nRn①
由①式得
vn＝qBRnm②
因为R2＝2R1，所以v2＝2v1③
对于粒子第一次在电场中的运动，由动能定理得
W1＝12mv22－12mv21④
联立③④式得
W1＝3mv212.⑤
(2)粒子第n次进入电场时速度为vn，出电场时速度为vn＋1，有vn＝nv1，vn＋1＝(n＋1)v1⑥
由动能定理得
qEnd＝12mv2n＋1－12mv2n⑦
联立⑥⑦式得
En＝2n＋1mv212qd.⑧
(3)设粒子第n次在电场中运动的加速度为an，由牛顿第二定律得
qEn＝man⑨
由运动学公式得
vn＋1－vn＝antn⑩
联立⑥⑧⑨⑩式得
tn＝2d2n＋1v1.
(4)如图所示．
答案：(1)32mv21 (2)2n＋1mv212qd (3)2d2n＋1v1
(4)如解析图所示