怎样证明四个点共面

篇一:《四点共圆的证明的所有方法》

证明四点共圆的方法

思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆．思路三：运用有关定理或结论

（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边

为圆的直径．

（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．

（3）对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，

APPCBPPD四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD其边的延长线AB、CD交于P，

PAPBPCPD四点共圆。

（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，

ABCDADBCACBD四点共圆。

ADDA

BBCBC

图（3）图（4）图（5）

（3）对于凸四边形ABCD，对角互补四点共圆。

证明：用反证法过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，则C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C，连结DC，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DCB=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DCB=∠C.故假设错误，原命题成立。

代数方法

解析几何（点代入法，利用线段乘积向量）复数证明（辐角相等）

证明向量共面已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线

,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了~明白后加分!!!

我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、

C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

2

充分不必要条件。

如果有三点共线，则第四点一定与这三点共面，因为线和直线外一点可以确定一个平面，如果第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

而有四点共面，不一定就其中三点共线，比如四边形的四个顶点共面，但这四个顶点中没有三个是共线的。

“三点共线”可以推出“四点共面”，但“四点共面”不能推出“三点共线”。因此是充分不必要条件

任取3个点，如果这三点共线，那么四点共面;如果这三点不共线，那么它们确定一个平面，考虑第四点到这个平面的距离。方法二A、B、C、D四点共面的充要条件为向量AB、AC、AD的混合积(AB,AC,AD)=0。方法三A、B、C、D四点不共面的充要条件为向量AB、AC、AD线性无关。

3

已知O是空间任意一点,A.B.C.D四点满足任意三点均不共线

,但四点共面,且O-A=2xB-O+3yC-O+4zD-O,则2x+3y+4z=?

写详细点怎么做谢谢了我假定你的O-A表示向量OA。

由O的任意性，取一个不在ABCD所在平面的O，这时若OA=b*OB+c*OC+d*OD，那么b+c+d必定等于1。

(证明：设O在该平面上的投影为P，那么对平面上任何一点X，OX=OP+PX，然后取X=A、B、

C、D代你给的关系式并比较OP分量即可。)

你给的右端向量都反向，所以2x+3y+4z=-1。

4Xa-Yb+Yb-Zc+Zc-Xa=0

∴Xa-Yb=-(Yb-Zc)-(Zc-Xa)

由共面判定定理知它们共面。

简单的说一个向量能够用另外两个向量表示，它们就共面。详细的看高中课本

4

1.若向量e1、e2、e3共面，

(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是

λe1+μe2-e3=0.

即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得

λe1+μe2+υe3=0”。

(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.{怎样证明四个点共面}.

2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，

就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,于是e1,e2,e3共面。

三点共线与三线共点的证明方法

公理1.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；

推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。

公理3.若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。例1.如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K．求证M、N、K三点共线．

由题意可知，M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上，根据公理1可知M、N、K在平面PQR上，同理，M、N、K分别在直线CB、DB、DC上，可知M、N、K在平面BCD上，根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上，所以M、N、K三点共线．

D1M、例2.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：M、N分别为AA1与AB的中点，

DA、CN三线共点．

由M、N分别为AA1与AB的中点知MN//A1B且MN

行且相等，所以MN//D1C且MN1A1B，又A1B与D1C平21D1C，根据推论3可知M、N、C、D1四点共面，2

且D1M与CN相交，若D1M与CN的交点为K，则点K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上，所以点K在平面ADD1A1与平面ABCD的交线DA上，故D1M、DA、CN三线交于点K，即三线共点．

从上面例子可以看出，证明三线共点的步骤就是，先说明两线交于一点，再证明此交点在另一线上，把三线共点的证明转化为三点共线的证明，而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上，也就是在两个平面的交线上。

立体几何中的共点、共线、共面问题

一、共线问题

例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图

).

例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线

.

例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

二、共面问题

例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面

.

例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.

求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面

.

例7.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足AMCN＝＝MBNBAQCP＝＝k.QDPD

(1)求证：M、N、P、Q共面.

(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

三、共点问题

例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

1、(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,

∴AA1、BB1确定平面BAO，

∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，

∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.

同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

2证明：如图，设AB∩A1B1＝P；

AC∩A1C1＝R；

∴面ABC∩面A1B1C1＝PR.

∵BC面ABC；B1C1面A1B1C1，

且BC∩B1C1＝Q∴Q∈PR,

即P、R、Q在同一直线上.

3解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点

∴过A、B、C有一个平面

又ABP,且AB

点P既在内又在内,设l,则pl.同理可证:Ql,RlP,Q,R三点共线.

4解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.

∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可证nα.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ.

∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l1∩l2＝P，

∴l1,l2确定平面α.

又l1∩l3＝A,l2∩l3＝C,∴C,A∈α.

故l3α.

同理l4α.

∴l1,l2,l3,l4共面.

图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.

所以结论成立.

6、证明如图，连结MN、NR，则MN∥l1,NR∥l2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1∥l2与条件矛盾).∴MN、NR可确定平面β，连结B1C2，取其中点S.连RS、ST，则RS∥l2，又RN∥l2，∴N、R、S三点共线.即有S∈β，又ST∥l1，MN∥l1，∴MN∥ST，又S∈β，∴STβ.

∴M、N、R、T四点共面.{怎样证明四个点共面}.

7解析：(1)∵AMAQ＝＝kMBQD

AMk＝AMMBk1∴MQ∥BD，且

∴AMkMQ＝＝ABk1BD

kBDk1∴MQ＝

又CNCP＝＝kNBPD

CNk＝CNNBk1∴PN∥BD，且

∴NPCNkk＝＝从而NP＝BDBDCBk1k1

∴，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.(2)∵1BN1BM＝，＝NCkkMA{怎样证明四个点共面}.

∴BN1BMBM1＝＝,＝NCkBMMAk1MA

∴MN∥AC，又NP∥BD.

∴MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.{怎样证明四个点共面}.

∵MNPQ是正方形，∴∠MNP＝90°

∴AC与BD所成的角为90°，

又AC＝a，BD＝b，MNBM1＝＝ACBAk1

∴MN＝1ak1

1b,且MQ＝MN，k1又MQ＝

ka1b＝a，即k＝.k1k1b

说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.

证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b

∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b

而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点

又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.

(2)当a∥b时

如何证明四点共圆

证明四点共圆的基本方法

证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。

方法2

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）

方法3

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。方法4

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（根据相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。（根据托勒密定理的逆定理）

诠释共点、共线、共面问题的求解思维策略

点共线、线共点、点共面及线共面是立体几何中一类不可忽视的问题，本文略举数例，就这类问题的转化方法和求解思维策略作一导析，希望能给备考中的广大一线师生些许启发．{怎样证明四个点共面}.

一、点共线问题

例１．已知Ａ、Ｂ、Ｃ是平面外三点，且ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别与交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ，求证：Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线．

分析：证明点共线问题，一般可以转化为证明这些点既在第一个平面内，又在第二个平面内，再根据公理2导出这些点就在这两个平面的交线上，即证得了点共线．

证明：如图1，过Ａ、Ｂ、Ｃ作一平面，则ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ．∴Ｅ，Ｆ，Ｇ．

设＝l

∵ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ分别与相交于点Ｅ、Ｆ、Ｇ，∴Ｅ，Ｆ，Ｇ．∴Ｅ、Ｆ、Ｇ必在与的交线l上．∴Ｅ、Ｆ、Ｇ三点共线．

二、线共点问题

证明多线共点的基本思路是：先确定其中一条直线为分别含有另两条直线的两个平面的交线，再证明分别在两个平面内的两条直线相交，由公理2可知交点必在两个平面的交线上.

例２．已知：如图2，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点.

证明：∵A1B1∥AB，∴A1B1与AB确定一平面A，

B1C1∥BC，∴B1C1与BC确定一平面B.

∵C1A1∥CA，∴C1A1与CA确定一平面γ.易知B∩γ=C1C.

又∵△ABC与△ABC不全等，∴A1A1与BB1相交，设交点为P，∴P∈AA1，P∈BB1，而AA1γ，BB1B，∴P∈γ，P∈B，∴P在平面B与平面γ的交线上，又B∩γ=C1C，{怎样证明四个点共面}.

图2根据公理2知，P∈C1C，∴AA1、BB1、CC1交于一点.

例３．如图３，已知空间四边形ABCD中，（即四个点不在同一平面内的四边形），Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＢＣ、ＣＤ上的点，且

求证：直线ＥＦ、ＧＨ、ＡＣ相交于一点．证明：Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，∴ＥＨ∥

B

图１

CFCG2

，CBCD3

11

ＢＤ且ＥＨ＝ＢＤ22

P

B

Ｈ图３

∵Ｆ、Ｇ分别是边ＢＣ、ＣＤ上的点，

且

CFCG2，CBCD3

∴ＦＧ∥ＢＤ，且ＦＧ＝

2

ＢＤ．3

故知ＥＨ∥ＦＧ且ＥＨ≠ＦＧ，即四边形EFGH为梯形，从而ＥＦ与ＧＨ必相交，设交点为Ｐ．

∵ＰＥＦ，ＥＦ平面ABC，∴Ｐ平面ABC．同理Ｐ平面ADC．

∵平面ADC平面ABC＝ＡＣ，∴ＰＡＣ．即ＥＦ、ＧＨ、ＡＣ交于一点Ｐ．点评：证明多线共点问题，方法一：先证某两条直线交于一点，再证这一交点在第三条直线上即可．方法二：先证某一条直线与另外两条分别交于一点，然后证两交点重合即可．

三、点共面问题

证明若干个点共面，证明的主要理论根据是公理1和公理3及三个推论：公理1是判断直线在平面内的依据，公理3及三个推论是确定平面的基本方法，同时它也是判断几个平面是否重合的重要依据.

例４．(2007年江苏)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1

上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.求证：E、B、F、D1四点共面.

证明：如图，在DD1上取点N，使DN＝1，连结EN，CN，则

AE＝DN＝1，CF＝ND1＝2．

因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四边形．从而EN∥＝AD，FD1∥CN．

∥又因为AD∥＝BC，所以EN＝BC，故四边形BCNE是平行四边形，

由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE．因此，E、B、F、D1四点共面．

点评：证明点共面的方法：先由条件中部分元素确定一个平面，再证其它各点均在此平面内；对于点共线问题，只需证明各点同时在两相交平面，从而即可得证，各点同时在两平面的交线上.或者先确定其中两点所在直线为某二平面的交线，再证明点同时在两个平面上，由公理2知该点在这两个平面的交线上，从而使问题得证.

四、线共面问题

证明空间几条直线共面的问题，常可采用下面两种策略：（1）“同舟共济”策略：首先可根据公理2或其他的三个推论确定一个平面，然后证明其他的直线也在这个平面内；（2）“分舟过渡”策略：若确定一个平面后，不能证明其他直线也在这个平面内，则可再确定一个平面，最后证明这两个平面重合即可．

例５．如图３，直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ两两平行，且分别与直线l相交于点Ａ、Ｃ、Ｅ，求证：ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三条直线共面．证明：∵ＡＢ∥ＣＤ，

∴ＡＢ、ＣＤ确定一个平面．

∵Ａ、Ｃ分别为ＡＢ、ＣＤ上的点，∴Ａ，Ｃ．

∴l．

图３

又ＥＦ∥ＣＤ，∴ＣＤ、ＥＦ确定一个平面．

∵Ｅ、Ｃ分别为ＥＦ、ＣＤ上的点，∴Ｅ，Ｃ∴l．

这样直线l和ＣＤ即在内，又在内，但l和ＣＤ是相交直线，经过它们的平面只有一个，故、重合．∴ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三条直线共面．

例６．已知空间四条直线a,b,c,d不共点，但两两相交，证明：这四条直线a,b,c,d共面.

分析：四条直线a,b,c,d两两相交但不共点，有两种情况：一种是任意三条直线都不共点，有一种是有三条直线共点，须分类讨论.

证明：（1）若其中任意三条直线都不共点，如图1，不防设相交直线a,b确定平面，且直线c与a,b分别交于点M、N，则有M，N，

所以c，同理可证d，即a,b,c,d四条直线在同一平面内；

dbN，（2）若其中有三条直线共点，如图2，不妨设abcQ，且daM，

dcP，

又∵Qd，∴点Q与直线d确定一个平面，∵Qa，Ma，∴a，

同理可证b，c，即a,b,c,d四条直线在同一平面内.

点评：四条直线两两相交且不交于一点，与三条直线两两相交且不交于一点不同，后者只是一种情况，前者却有两种情况．在进行分类讨论时，需要做到“不重不漏”.理解题意，依据公理，合理分类，分清各种位置的可能性，然后分别予以解决．